$\widetilde{\Bbb{RP}^2 \vee T^2}$ se va a parecer a un árbol con los vértices correspondientes a $S^2$ o $\Bbb R^2$ y los bordes correspondientes a un punto de unión de los dos espacios correspondientes a los vértices que se une.
El árbol es un árbol coloreado, con los vértices de color por el azul y el rojo, azul vértice adyacente sólo a la red de vértices y cada una red de vértices adyacentes sólo a azul vértices. Barrio de una red de vértices consisten $\Bbb Z/2$-muchos de los vértices y de la vecindad de un azul vértice consisten $\Bbb Z^2$-muchos vértices. Esto es porque el punto de la cuña $x$ $\Bbb{RP}^2 \vee T^2$ ascensores $\Bbb Z/2$-el número de puntos en cada una de las $S^2$, e $\Bbb Z^2$-el número de puntos en cada una de las $\Bbb R^2$. La sustitución de cada red vértice por una $S^2$, cada uno azul vértice por una $\Bbb R^2$ y cada arista de un punto de unión de los dos vértices de los espacios me da la deseada cobertura universal.
Aquí está una foto de la parte de la gráfica. Mientras que hay infinitamente muchos rojo los vértices adyacentes a azul vértices, sólo un número finito son atraídos por razones obvias, y la existencia de el resto de puntos. Como vemos, el grafo es un árbol con vértice conjunto se divide en dos colores y la valencia de azul vértices es $|\Bbb Z^2|$ y la valencia de rojo los vértices es $2$.
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Por lo tanto, en última instancia, el espacio de $\widetilde{\Bbb{RP}^2 \vee T^2}$ es iterativo uno-punto-de la unión de un número infinito de $S^2$'s y $\Bbb{R}^2$'s, con cada una de las $S^2$ encajada con dos $\Bbb R^2$'s, y cada una de las $\Bbb R^2$ encajada con $\Bbb Z^2$-muchos de los $S^2$'s.
$\text{Explanation}$: Para ver esto, observe que $\Bbb R^2$ es la cobertura universal de $T^2$, por lo tanto $\Bbb R^2 \bigvee_{\Bbb Z^2} \Bbb{RP}^2$ ($\Bbb R^2$ con una copia de la proyectiva del plano adjunto a cada número entero de celosía) cubre $\Bbb{RP}^2 \vee T^2$. Ahora $S^2$ es la cobertura universal de $\Bbb{RP}^2$, por lo que del mismo modo se puede "unwrap" uno de los planos proyectivos de $\Bbb Z^2$-muchos de ellos para obtener la cubierta de la $\Bbb R^2 \bigvee_{\Bbb Z^2 - (0, 0)} \Bbb{RP}^2 \vee (S^2 \vee \Bbb R^2 \bigvee_{\Bbb Z^2 - (0, 0)} \Bbb{RP}^2)$. Cubriendo todo el encajada $\Bbb{RP}^2$'s del mismo modo, se va a terminar con la cubierta de la $\Bbb{R}^2 \bigvee_{\Bbb Z^2} (S^2 \vee \Bbb R^2 \bigvee_{\Bbb Z^2} \Bbb{RP}^2)$. "Desenvolver" de forma iterativa en este proceso le dará una estructura de árbol, enteramente compuesto de $S^2$$\Bbb R^2$, por lo tanto simplemente se conecta y por lo tanto una universalización de la cobertura de su espacio.
$\text{Remark}$: La razón por la que usted consigue una mucho mejor cosa para $\Bbb{RP}^2 \vee \Bbb{RP}^2$ es que el árbol se compone de los vértices correspondientes sólo a $S^2$ y el punto de la cuña ascensores sólo 2 puntos en cada una de las $S^2$. Esto implica para cada $S^2$-vértice, sólo hay dos $S^2$-vértices adyacentes a él en el gráfico, por lo que a nivel mundial se ve como una infinita cadena de $S^2$'s, cada dos de ellos tocando en un punto. Tenga en cuenta que el gráfico es todavía un árbol, con cada uno de los vértices de valencia $2$.
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La presencia de un espacio (es decir, $T^2$) con infinita grupo fundamental ($\pi_1(T^2) \cong \Bbb Z^2$) empeora las cosas.
