¿Existe $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (\left \lfloor x \right \rfloor)}{\left \lfloor x \right \rfloor}$?

Question

La función está definida $\mathbb{R}-[ 0,1)\to \mathbb{R}$.

Como $x$ enfoques $0$ desde la izquierda, $\left \lfloor x \right \rfloor=-1$ por lo tanto la mano izquierda límite es $\sin \left ( 1 \right )$.

Es evidente que la mano derecha no existe límite.

Ahora lo hace el límite de existir?

Por un lado , desde la LHL no es igual a RHL , no debería existir.

Por el otro , la definición de límite, dice

para todos los $\varepsilon > 0$ , existe un $\delta > 0 $ tal que para todos los $x $ $D $ que satisfacer $ 0 < | x - c | < \delta $, la desigualdad de $|f(x) - L| < \varepsilon$ mantiene.

Ahora ya solo tenemos en cuenta todos los $x$ en el dominio , no veo la manera de $x$ no ser capaz de enfoque desde el derecho crea un problema. Creo que la definición es aún verificado si el límite es $\sin \left ( 1 \right )$.

Esto es lo que nos dijeron en clase (no se dio ninguna explicación , la definición cosa es mi idea) pero no estoy muy seguro . Wolfram alpha dice que el límite no existe. Esta pregunta - Buscar $\lim_{x\to 0}\frac{\lfloor \sin x\rfloor}{\lfloor x\rfloor}$ implica el mismo.

Así que por favor me ayude. Gracias.

Answer 1

Usted puede ver esto de dos maneras. Si usted está asumiendo la función de ${\sin \lfloor x \rfloor \over \lfloor x \rfloor}$ bien definida como la función en ${\mathbb R} - [0,1)$, entonces el límite es sólo el lado izquierdo del límite; ya que la función está definida sólo a la izquierda de $x = 0$, solo necesita tomar el límite de la izquierda para que el límite exista.

Por otro lado, si usted se está preguntando si la instrucción "$\lim_{x \rightarrow 0} {\sin \lfloor x \rfloor \over \lfloor x \rfloor}$ existe", es una declaración verdadera, entonces se puede argumentar que, dado que la función de ${\sin \lfloor x \rfloor \over \lfloor x \rfloor}$ no está bien definida en $[0,1)$ la declaración no tiene ningún significado. Pero este no es el habitual en la interpretación de tales límites. Si la función sólo está definida por un lado, generalmente se considera implícito que acaba de restringir el dominio y considerar el límite es el límite de ese lado.