Encontrar todos los números primos $p$ tal que $x^3+x+1\equiv0\pmod p$el % ha $3$ soluciones incongruentes.

Question

Encontrar todos los números primos $p$ que tiene de $$x^3+x+1\equiv0\pmod p$ $ $3$ soluciones incongruentes.

Por un resultado estándar en teoría del número, tiene $3$ soluciones incongruentes iff existe $q(x),r(x)\in\mathbb{Z}[x]$ $\deg r(x)<3$ tal que $$x^p-x=(x^3+x+1)\,q(x)+p\cdot r(x).$$ I am unable to proceed from here. I tried to write out the coefficients of $ q$ y multiplicar hacia fuera, pero fue en vano. ¿Cómo se resuelve este problema? ¡Gracias de antemano!

Estoy confuso acerca de qué clave a añadir, así que por favor solucionar este problema.

Answer 1

Tales preguntas conducen rápidamente a los problemas de la teoría algebraica de números. Aquí necesitamos saber en que prepara el campo generado por un cero de $x^3+x+1$ se divide por completo. Como este número el campo no tiene un Abelian grupo de Galois, el conjunto de los números primos que no puede ser descrito en términos de congruencia condiciones.

El discriminante de $f(x)=x^3+x+1$$-31$. Esto significa que la división de campo de la $f$ es la de Hilbert campo de la clase de $\mathbb{Q}(\sqrt{-31})$. Los números primos $p$ que dividir por completo en este campo, es decir, aquellos para los que $f(x)\equiv0$ (mod $p$) tiene tres soluciones, son los representados por la forma cuadrática $a^2+ab+8b^2$ (el principal binario forma cuadrática de discriminante $-31$).

Para pruebas y mucho más discusión ver a David Cox del libro de los números Primos de la Forma $x^2+ny^2$.

PDF de todo el artículo, la página que se muestra a continuación

Answer 2

CW respuesta. Para llenar los Tiburones de la respuesta, estos son los números primos hasta el año 2100 que desee. Bueno, casi. La mayoría de la gente no llame a $1$ un primo, pero es mi programa de ordenador. También las cosas "se ramifican a" a $31,$ hay una doble raíz, lo que no quieren. Un Pensamiento: tal vez esto surgió debido a $2017$ es uno de estos números primos, y este año es $2017.$ Todavía no es una pregunta razonable para cualquier concurso en cualquier lugar.

GP-PARI:

parisize = 4000000, primelimit = 500509
? factormod( x^3 + x + 1, 31)
%1 = 
[Mod(1, 31)*x + Mod(17, 31) 2]

[Mod(1, 31)*x + Mod(28, 31) 1]

? factormod( x^3 + x + 1, 47)
%2 = 
[Mod(1, 47)*x + Mod(12, 47) 1]

[Mod(1, 47)*x + Mod(13, 47) 1]

[Mod(1, 47)*x + Mod(22, 47) 1]

? factormod( x^3 + x + 1, 67)
%3 = 
[Mod(1, 67)*x + Mod(4, 67) 1]

[Mod(1, 67)*x + Mod(9, 67) 1]

[Mod(1, 67)*x + Mod(54, 67) 1]

=======================================================

? factormod( x^3 + x + 1, 2017)
%4 = 
[Mod(1, 2017)*x + Mod(176, 2017) 1]

[Mod(1, 2017)*x + Mod(267, 2017) 1]

[Mod(1, 2017)*x + Mod(1574, 2017) 1]

? 

=======================================================

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./primego
Input three coefficients a b c for positive f(x,y)= a x^2 + b x y + c y^2 
1 1 8
Discriminant  -31

Modulus for arithmetic progressions? 
31
Maximum number represented? 
2100

      1,     31,     47,     67,    131,    149,    173,    227,    283,    293,
    349,    379,    431,    521,    577,    607,    617,    653,    811,    839,
    853,    857,    919,    937,    971,   1031,   1063,   1117,   1187,   1213,
   1237,   1259,   1303,   1327,   1451,   1493,   1523,   1559,   1583,   1619,
   1663,   1721,   1723,   1741,   1879,   1931,   1973,   1993,   2003,   2017,


    0    1    2    4    5    7    8    9   10   14   16   18   19   20   25   28

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ 
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ date
Fri Apr 14 11:04:55 PDT 2017
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$