¿Hay una forma de trabajar con la topología de Zariski en términos de límites de convergencia?

Question

Como alguien que es muy amante de los análisis, me siento más cómodo trabajando en espacios topológicos a través de la noción de convergencia de las secuencias (o redes, en infinitas dimensiones de los espacios de Banach, etc.). En cada espacio métrico (o de primera contables espacio topológico) nada se puede decir acerca de la topología se puede decir en términos de secuencias convergentes (aunque quizás menos elegante). En arbitraria de espacios topológicos, uno puede utilizar las redes en su lugar. Sin embargo, si el espacio no es Hausdorff, a continuación, las redes no tiene límites, lo que hace que sea muy difícil trabajar con ellos la forma en la que uno está acostumbrado a trabajar con secuencias (de los números reales, por ejemplo). Este es el caso de la topología de Zariski en $\mathbb{C}^n$ (tengo ningún deseo urgente de considerar más general algebraica de las variedades). ¿Hay alguna forma conveniente de expresar la topología de Zariski (que es: sus conjuntos cerrados, las funciones continuas permite,...) en términos de "convergencia de la estructura" que satisface las propiedades similares a los que tenemos en cualquier secuencial/métricas/primera-contables espacio?

Answer 1

No creo que hay una manera útil de hacer lo que debes hacer (es decir, para trabajar con límites/convergencia); como otras respuestas han explicado, la no-Hausdorff la naturaleza de la topología de Zariski (entre otras cosas) hace difícil.

Por otro lado, la mayoría de los lemas básicos de la topología y el análisis que se puede demostrar a través de una consideración de secuencias convergentes normalmente puede también ser demostrado a través de argumentos con abrir conjuntos de lugar, por lo que su intuición para la topología de espacios métricos puede en cierta medida ser prorrogados, si usted está dispuesto a hacer este tipo de traducciones. En algún momento (si la práctica), y con un poco de suerte, la traducción puede ser automática (o al menos cerca de automática). (Aunque puede que creo que de no Hausdorffness como una grave patología que invalida lo que acabo de decir, que al final es menos grave psicológicamente de lo que parece a primera --- al menos en mi experiencia.)

Hablando por mí mismo, por supuesto considero que la topología de Zariski como la topología, como cualquier otro (en el sentido de que no creo en ello como alguna que otra cosa que ocurre satisfacer los axiomas de una topología; pienso en ella como una topología en un sentido genuino). Es sólo que no permiten a muchos conjuntos cerrados: sólo aquellos que se pueden cortar como el cero, el locus de un polinomio.

Así que una buena forma de practicar el pensamiento acerca de la topología de Zariski es más general, la práctica de pensar acerca de las topologías en términos de qué tipo de conjuntos cerrados son permitidos, o, más precisamente, ¿qué tipo de funciones se les permite cortar conjuntos cerrados como su cero loci.

Pensar en términos de funciones es una forma de reducir la analítica, la intuición de que al parecer, y el general topológico formalismo que subyace en la topología de Zariski. Lo que quiero decir es: en el estándar de análisis real, si usted tiene una función continua en a $\mathbb R^n$ (o un subconjunto de ellos), su cero locus está cerrado. Una manera de pensar acerca de esto es a través de secuencias (esta es una manera que usted al parecer): si $f(x_n) = 0$ por cada miembro de una secuencia convergente, a continuación,$f(\lim_n x_n) = 0$, siempre y cuando $f$ es continua.

Ahora, cuando se trabaja con la topología de Zariski, usted tiene que tirar el argumento con secuencias, pero todavía se puede mantener la consecuencia: el cero, el locus de un "continuo" de la función es cerrado. El punto clave es que ahora las únicas funciones que se le permite pensar de como continua son polinomios. Esto puede tomar algún tiempo para acostumbrarse, pero no es tan malo (después de todo, los polinomios son continuas en la topología usual en $\mathbb C^n$!).

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Resumen: no parece posible trabajar rigurosamente con una secuencia/convergencia punto de vista, pero (a) no es tan engañoso por muy básico topológica de los hechos; y (b) otra analítica punto de vista de que es muy útil es pensar acerca de la topología en términos de conjuntos cerrados ser cero loci de funciones continuas \begin{align} du &=\left[-\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\frac{2\arctan x}{1+x^2}+\frac{2\ \arctan^2x}{x^3}\right]dx\\ &=\frac{2\arctan x}{x^3}\left(\arctan x-x\right)\ dx\endusted sólo tiene que restringir las funciones que se llame "continua" para ser polinomios.

Answer 2

Aquí están algunos de los resultados que le permitirán hacer decidir por ti mismo lo bueno/malo son los sistemas en comparación a su favorito de espacios topológicos.
Para un esquema afín $X=Spec(R)$ tenemos:

$$X\; is \; \text T_2 \text{ (=Hausdorff)} \iff X \;\text {is} \; T_1 (=\text {closed points})\iff R \; \text {has dimension 0}$$

Ejemplos de anillos de dimensión 0 (=los anillos en la que todos los primos son los ideales maximales) :
Ejemplos triviales de cero dimensiones de los anillos son finitos productos de los campos o de los anillos de la forma $k[T]/(T^n)$ sobre el campo de $k$.

La fuente más rica de no trivial cero-dimensional anillos son de von Neumann regular de los anillos.
Ellos son los anillos para que el siguiente se tiene: para todos los $r\in R$ existe $a\in R$ tal que $r=ar^2$. (Estos anillos se llaman absolutamente plana por Bourbaki y sus groupies debido a que cada módulo en un anillo plano.)

Cualquier producto infinito de campos de von Neumann regular y el espectro de este tipo de producto es, pues, Hausdorff. Pero muy raro: Mumford se refiere a estos espectros como "indignante espacios" y habla de "far-out misterios" (en su Libro Rojo, página 140).Por ejemplo, si usted toma denumerably muchas copias de un mismo campo, el espectro de su producto será homeomórficos a la Piedra-Čech compactification de $\mathbb N$.

Editar (más tarde)
En defensa de que los pobres de la topología de Zariski, me gustaría hacer el punto que satisface una muy fuerte separación de la propiedad !
Recordemos que en la Topología de un espacio de Hausdorff $X$ se dice normal si cualquiera de los dos cerrados disjuntos subconjuntos tienen distintos barrios. Urysohn famoso demostrado que estos espacios tienen la propiedad de que dados dos cerrados disjuntos subconjuntos $A,B \subset X$ no es un valor real de la función de $f: X\to \mathbb R$$f|A=0$$f|B=1$.
Bien, para afín a las combinaciones que pueden hacerlo mejor y encontrar un mundial regular de la función en $X$ que al mismo tiempo ampliar cualquier regular las funciones dadas en $A$ $B$:

Urysohn para afín esquemas Deje $X=Spec(R)$ ser afín esquema y $A=V(I)$, $B=V(J)$ dos cerrados disjuntos subschemes.Entonces para cualquier $f_A\in \Gamma (A, \mathcal O_A), f_B\in \Gamma (B, \mathcal O_B)$ existe $f\in \Gamma (X, \mathcal O_X)$ $f|_A=f_A$ $f|_B=f_B$

Es que un nuevo resultado que no ha hecho su camino en los libros de texto? No, en absoluto: es el tercer siglo A. D. Teorema del Resto Chino! Usted ve, la disjointness de $A=V(I)$ $B=V(J)$ se traduce en la comaximality $I+J=R$ y el surjectivity de $R\to R/I \times R/J$ luego la prueba Urysohn para afín esquemas.

Answer 3

La topología de Zariski no es "realmente" una topología en el conocido sentido analítico. Es precisamente codifica el hecho de que si usted tiene polinomios de fuga en un montón de puntos, también deben desaparecer en un montón de otros puntos. Por ejemplo, si un verdadero polinomio en una variable se desvanece en $\mathbb{Z}$, también se desvanece de forma idéntica. Desde el cierre de Zariski de un subespacio a menudo puede ser mucho mayor que el subespacio propio, no veo una buena manera de calzador en la analítica de la intuición donde no pertenece. El hecho de que la topología de Zariski en general no es Hausdorff no es una peculiaridad de ser ignorado, es un básico y fundamental hecho sobre polinomios.

Answer 4

El problema que yo veo es que, dado que la topología de Zariski no es Hausdorff, los límites de las secuencias no son únicas. Por ejemplo, considere afín a la línea de $\mathbb{A}^1$ más de una algebraicamente cerrado campo de tierra $k$. Deje $x_n$ ser cualquier secuencia de los distintos elementos en $k$, por lo que podemos pensar de $x_n$ como una secuencia de puntos de $\mathbb{A}^1$. Entonces, para cualquier punto de $y$$\mathbb{A}^1$, y cualquier conjunto abierto $U$ contiene $y$, $x_n \in U$ $n$ lo suficientemente grande. Por lo $x_n$ enfoques de cada punto de $y$.

A menudo puede ser interesante hablar de la colección de límite de puntos de una secuencia en la topología de Zariski. Sin embargo, no es esencialmente nunca un único límite. En mi opinión, de este modo, sería muy difícil pensar acerca de la topología de Zariski en términos de secuencias.

Answer 5

Conseguir una manija en la topología de Zariski puede ser muy difícil y en mi experiencia he encontrado que es más fácil aprender a usarlo, a continuación, tratar de imagen. Al menos parte del problema se deriva del hecho de que la apertura de los conjuntos en una variedad o esquema son enormes y la topología es casi nunca Hausdorff.

Por supuesto que hay muchos objetos en la geometría Algebraica que tiene buenas fotos. Una muy pequeña lista (sin ningún orden en particular) es la siguiente. La comprensión de las imágenes asociadas a estos vocabulario palabras junto con las ideas correspondientes en el álgebra puede ayudar a darle un mejor manejo de la topología de Zariski. Recomiendo Eisenbud y Harris, la Geometría de los Esquemas como una referencia junto con Ravi Vakils Matemáticas 216 notas.

La grasa de los puntos, Fuzzy puntos, cerrado subschemes, codimension uno de los conjuntos, los tallos, irreductible conjuntos de puntos singulares...