Ejemplos de operadores lineales (de dimensión infinita)

Question

Estoy tratando de familiarizarme con los operadores lineales. En dimensiones finitas tengo claro que son matrices. Ahí no hay problema. Pero en dimensiones infinitas la cosa no está tan clara para mí. Por supuesto que el mapa de identidad es un operador lineal. También sé que si el dominio es un espacio de funciones entonces los operadores de integración y diferenciación son ejemplos de operadores lineales. Además he encontrado el ejemplo del operador de desplazamiento (funciona en secuencias y espacios de funciones). Pero creo que algunos ejemplos más me ayudarían mucho a entender mejor los operadores lineales.

Ahora bien, aparte de los que he mencionado, ¿cuáles son los ejemplos de operadores lineales $T: X \to Y$ donde $X,Y$ son espacios lineales normados de dimensión infinita?

Answer 1

Algunos ejemplos importantes son los siguientes núcleos integrales . Básicamente si $k:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es alguna función, entonces podemos definir un operador $K$ en un espacio de funciones estableciendo $$(Kf)(x) = \int_\mathbb{R} \! k(x,y) f(y) \, dy.$$ Por supuesto, hay que tener cuidado de restringir las funciones $f$ y $k$ para que todo tenga sentido. Una forma de hacerlo es exigir que $k \in L^2(\mathbb{R}^2)$ y luego definir el operador sólo para las funciones $f \in L^2(\mathbb{R})$ . Un ejemplo importante de un operador dado por un núcleo integral es la transformada de Fourier $$(Ff)(x) = \int_\mathbb{R} \! e^{-ixy} f(y) \, dy.$$ Sin embargo, la formalización de este ejemplo requiere ir por un camino un poco más complicado porque la función $e^{-ixy} \notin L^2(\mathbb{R}^2)$ . Otros ejemplos son los siguientes Operadores de multiplicación , Operadores de convolución y Operadores de composición . Y hay muchos otros.

Answer 2

Las respuestas ya dadas son buenos ejemplos, pero permítanme dar algunos más sólo para enfatizar la plétora de operadores lineales. Sea $X$ sea un conjunto cualquiera. Entonces podemos crear el espacio de Hilbert con base $X$ Llámalo $\mathcal{H}_X$ . Cualquier permutación de $X$ dan un operador lineal (de hecho unitario) en $\mathcal{H}_X$ . Nótese que no serán todos los operadores unitarios.

Ahora, dado un grupo localmente compacto $G$ podemos construir el espacio de Hilbert $L^2(G)$ , si $G$ es discreto esto sigue la construcción anterior. Entonces $G$ permuta $G$ multiplicando por la izquierda (o por la derecha). Así obtenemos $G$ como un subgrupo de los operadores unitarios. Si $G$ es separable entonces $L^2(G)$ también lo es. Así que si miramos un solo espacio lineal normado (es decir, el único espacio de Hilbert separable de dimensión infinita) hay suficientes operadores (unitarios) para tener una copia de cada grupo localmente compacto separable. ... Eso son MUCHOS operadores.

Answer 3

Tenemos

1. La identidad.
2. Operadores de rango finito. Son operadores cuya imagen es de dimensión finita.
3. En los espacios de Hilbert podríamos tomar límites de operadores de rango finito. Esto nos dará los operadores compactos. O considerar los operadores compactos en general.
4. Tome combinaciones lineales de lo anterior.

En general, puede ser difícil dar otros ejemplos, ya que hay espacios para los que esto es todo lo que hay. Véase aquí . Por eso, sin más suposiciones sobre los espacios es difícil que des más ejemplos (puede que no haya más).

Answer 4

Si toma $A$ sea un álgebra de Banach, digamos, entonces hay operadores de multiplicación que provienen de la representación regular izquierda de $A$ en sí mismo. Es decir, para $a \in A$ se define un operador lineal $L_a : A \to A$ por $$ L_a(b) = ab \quad \text{ for all } b \in A. $$ También hay cosas relacionadas, como las representaciones del GNS.

Answer 5

Dejemos que $\Lambda$ sea el conjunto de supernúmeros generados infinitamente con respecto al $1$ -de los coeficientes. En particular, tomaré los coeficientes de los generadores de Grassmann como complejos. Un supernúmero típico tiene la forma $$ z = z_0+z_{i}\eta^i+\frac{1}{2}z_{ij}\eta^i\eta^j+ \cdots $$ donde las sumas implícitas se toman sobre $\mathbb{N}$ y la norma de $z$ está dada por: $$ |z| = |z_0|+\sum_i |z_i|+\sum_{i,j} |z_{ij}|+ \cdots $$ Fijar un supernúmero particular, digamos $w$ entonces defina $$ L_w(z) = wz \qquad \text{and} \qquad R_w(z) = zw $$ para todos $z \in \Lambda$ . Son mapas lineales continuos. De hecho, son superdiferenciables.

Yo no diría que son ejemplos típicos. Puede leer más en los artículos pioneros sobre esta área de superanálisis de Alice Rogers.