¿Cómo demostrar que una función es periódica a partir de una ecuación funcional dada?

Question

Dado que $f: \mathbb R \to \mathbb R$ y que para algunos $a \in \mathbb R$ , $f(x+a)={1\over 2}+\sqrt{f(x)-f^3(x)}$ demostrar $f(x)$ es una fucnión periódica.

Sé que para demostrar que una función es periódica hay que demostrar $f(x+bK)=f(x)$ para todos $b \in \mathbb Z$ y el período es $K$

Pero, ¿cómo puedo resolver este problema?

Answer 1

Dejemos que $g(x) = \frac 12 + \sqrt{x - x^3}$ .

Para todos $x \in \Bbb R$ , $f(x) = g(f(x-a)) \ge 1/2$ . Además, como $f(x+a) = g(f(x))$ existe, debemos tener $f(x)-f(x)^3 \ge 0$ Por lo tanto $f(x) \le 1$

Por lo tanto, $f(x) \in [0.5 ; 1]$ para todos $x \in \Bbb R$ .

$g$ aumenta de $x=1/2$ (donde $f(1/2)>1$ ) a $x=1/\sqrt 3$ luego disminuye a $x=1$ (donde $f(1)=1/2$ ).

Podemos calcular y ver que $0.83 > 1/\sqrt 3$ y $g(0.83) > 1$ Así pues, para cualquier $x \in [0.5;0.83]$ , $g(x) > 1$ .

Por lo tanto, $f(x) \in [0.83 ; 1]$ para todos $x \in \Bbb R$ (o bien $f(x+2a)$ no existiría)

$g'(x)$ es decreciente en ese intervalo, y $g'(0.83) < -1$ Así que para todos $x \in \Bbb [0.83;1]$ , $g'(x) \le g'(0.83) < -1$ .

En particular, tenemos $|f(x+2a) - f(x+a)| \ge |f(x+a)-f(x)||g'(0.83)|$ .

Dejemos que $M = \sup_{x \in \Bbb R} |f(x+a)-f(x)|$ . Desde $f(x) \in [0.5;1]$ obviamente tenemos $0 \le M \le 0.5$ . Pero también tenemos $M \ge M |g'(0.83)|$ lo cual es imposible a menos que $M=0$ .

Por lo tanto, $f(x+a) = f(x)$ para todos $x \in \Bbb R$ . Y de hecho $f$ es constante y su valor es el único punto fijo de $g$ en $[0.83;1]$