¿Lo que se conoce sobre el comportamiento asintótico de $-\frac{\pi^2}{18}x^3+\sum_{n\le x}n\sigma(n)? $$
Parece que ser $O(x^{2+\varepsilon})$ pero no puedo demostrarlo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ver mi blog respecto a la media de $\sigma(n)$. Este post es una serie de dos partes, la parte I se ve en el límite superior, y la Parte II demuestra Pétermann del límite inferior, que es considerablemente más difícil. Todos los resultados sobre la $n\sigma(n)$ seguir a la derecha, lejos de la suma parcial.
En la Parte I, la hipérbola es el método utilizado para demostrar que $$\sum_{n\leq x} \sigma(n) =\sum_{n\leq x}\sigma(n)=\frac{\pi^{2}}{12}x^2+O(x\log x),$$ which should be exactly what you are looking for. From here, partial summation yields $$\sum_{n\leq x} n\sigma(n) =\frac{\pi^{2}}{18}x^3+O(x^2\log x).$$
Voy a publicar la Parte II pronto que demuestra que el término de error es el no $o(x^2\log \log x),$ y oscila entre positivo y negativo, con una magnitud de $x^2\log \log x$ infinitamente a menudo.
