Subgrupo normal de índice principal

Question

Generalizando el caso $p=2$ nos gustaría saber si la siguiente afirmación es cierta.

Que $p$ el primer menor divide el orden de $G$. Si $H$ es un subgrupo de índice $G$ $p$ $H$ es normal.

Gracias.

Answer 1

Este es un ejercicio estándar, y la respuesta es que la afirmación es verdadera, pero la prueba es bastante diferente de la primaria de la manera en que el $p=2$ de los casos puede ser probada.

Deje $H$ ser un subgrupo de índice $p$ donde $p$ es el más pequeño índice que divide $|G|$. A continuación, $G$ actúa sobre el conjunto de la izquierda cosets de $H$, $\{gH\mid g\in G\}$ por la izquierda de la multiplicación, $x\cdot(gH) = xgH$.

Esta acción induce un homomorphism $G\to S_p$, cuyo núcleo está contenida en $H$. Deje $K$ ser el kernel. A continuación, $G/K$ es isomorfo a un subgrupo de $S_p$, por lo que ha pedido dividiendo $p!$. Pero también debe tener un orden dividiendo $|G|$, y desde $p$ es de los primos más pequeños que divide $|G|$, se deduce que el $|G/K|=p$. Desde $|G/K| = [G:K]=[G:H][H:K] = p[H:K]$, se deduce que el $[H:K]=1$, lo $K=H$. Desde $K$ es normal, $H$, de hecho fue normal.

Answer 2

Aquí está una manera ligeramente diferente para probar el resultado:

Lo haremos por inducción en $|G|$. Si $G$ tiene sólo un subgrupo de índice$p$, entonces claramente que el subgrupo es normal, así que vamos a $H_1$ $H_2$ ser distintos subgrupos de índice $p$. Entonces tenemos que $|H_1H_2|$ es un múltiplo de a $|H_1|$, pero debido a la elección de $p$ debemos, de hecho, tienen $H_1H_2 = G$, lo que significa que si dejamos $K = H_1 \cap H_2$ $K$ índice de $p$ $H_1$ $H_2$ por inducción sabemos que $K$ es normal en $H_1$ $H_2$ y por lo tanto normal en $G$. Ahora sabemos que $G/K$ orden $p^2$, por lo que es abelian. Ahora, puesto que tanto $H_1$ $H_2$ contienen $K$ corresponden a los subgrupos de $G/K$, y dado que esta es abelian, que corresponden a los subgrupos normales, lo que demuestra que son normales en $G$ como se desee.

Answer 3

Sugerencia: Considere el conjunto de cojunto $G/H$ de los cuales hay $p$. Entonces $G$ actúa sobre estos cojunto por la multiplicación izquierda para que tenga un homomorfismo h $\phi: G \rightarrow S_p$. Si $p$ es el primo más pequeño dividiendo $|G|$ entonces lo que se puede decir de $|\mathrm{im} \phi|$ y ¿qué implica esto acerca de $\ker \phi$?

Answer 4

Desde $[G: H]=2$, el grupo de $G$ tiene sólo dos distintas a la izquierda cosets y sólo dos distintas derecho cosets.

Ahora $H$ sí es una izquierda así como un derecho coset en $G$. Deje $a \in G$. Si $a \in H$,$$aH=H=Ha$$.

Supongamos $a$ no pertenece a $H$.A continuación,$aH \neq H$. Por lo tanto $G=H \cup aH$$H \cap aH= \varnothing$. A continuación,$aH=G-H$. Desde $a$ no pertenece a $H$ $G$ tiene sólo dos cosets, nos encontramos con que $G= H \cup Ha$ donde $H \cap Ha= \varnothing $. Por lo tanto $Ha=G-H$. Por lo tanto $Ha=aH$.Así nos encontramos con que $aH=Ha$ todos los $a \in G$ $H$ es un subgrupo normal de $G$.

Answer 5

Sugerencia: Dejar $G$ ley de $G/H$ por la multiplicación izquierda. Esto le da un homomorfismo h $G\to S_p$. Tratar de mostrar que $H$ es el núcleo de este mapa, tenga en cuenta que $q$ es un primo más grande que $p$ y $q\nmid p!$.