¿Tiempo de giro para el fluido en un cilindro abierto sin paredes frontales?

Question

Estoy interesado en la rapidez con la que el fluido en un cilindro abierto podría alcanzar la rotación del cuerpo sólido si el cilindro está suspendido verticalmente en un fluido sin límite.

He encontrado un montón de trabajo que considera spin-up en un cilindro con una sola pared final, pero parece que no puede rastrear cualquier información sobre si la pared final es esencial para la conducción del flujo. Incluso un puntero a las palabras clave correctas para buscar ayudaría.

Answer 1

Este problema puede conseguir tan complicado como quieras, pero déjame que te muestre cómo se pueden abordar en el caso más simple. Las ecuaciones de Navier-Stokes se describe el flujo:

$\rho\left(\displaystyle\frac{\partial {\bf u}}{\partial t}+({\bf u}\cdot\nabla){\bf u}\right)=-\nabla p + \mu \nabla^2 {\bf u}$. $\qquad$ (1)

Suponga que el movimiento del fluido es lo suficientemente lenta como para que el no lineal plazo $({\bf u}\cdot \nabla){\bf u}$ es insignificante. Esto es cierto siempre y cuando la viscosidad de las fuerzas son grandes en comparación con las fuerzas de inercia de la aceleración. Ugh, ahora que es una ecuación lineal, algo se puede hacer analíticamente.

Considerar el problema en coordenadas cilíndricas con $z$, $r$ y $\phi$. Supongamos $\partial/\partial z=0$ $\partial/\partial \phi=0$ de todas las cantidades, debido a la simetría axial del problema. Entonces la ecuación de continuidad se ofrecen simplificaciones. En coordenadas cilíndricas, la ecuación de continuidad lee

$\displaystyle\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \frac{1}{r}\displaystyle\frac{\partial(\rho r u_r)}{\partial r}+ \frac{1}{r}\frac{\partial\rho u_{\phi}}{\partial \phi} + \frac{\partial (\rho u_z)}{\partial z}=0$

Con $\rho=\mathrm{const}$ (incompressibility asunción), el primer término es cero, y los dos últimos términos son iguales a cero debido a la simetría axial de la asunción. El resto de los rendimientos de $u_r=0$. ¡Hurra! Escojamos el problema, por lo que el $u_z=0$ (true si el cilindro no está en movimiento con respecto a la del líquido en $z$-dirección) Entonces, nos quedamos sólo con $u_{\phi}$, y vamos a denotar es $u\equiv u_{\phi}$.

Si el cilindro está suspendida verticalmente, es decir, el eje del cilindro es a lo largo de la fuerza de gravedad, entonces el gradiente de presión de la $\nabla p$ también puede ser descuidado. Esto es debido a que el único componente de $\nabla p$ está en la dirección z debido a la gravedad, y ya hemos asumido $\partial {\bf u}/\partial z$=0. Y puede ser que no exista $\phi$-componente de $\nabla p$, porque violaría nuestra $\partial /{\partial \phi}=0$ asunción.

Todo lo anterior nos deja con la única ecuación para $u_\phi\equiv u$:

$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} = \mu \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)$. $\qquad$ (2)

Para comprender de dónde vino, buscar la forma explícita de la ecuación (1) en coordenadas cilíndricas en esta página de la Wikipedia, tomar la $\phi$-componente de la misma y el uso de los supuestos descritos a continuación para deshacerse de $\partial/\partial z$ $\partial/\partial \phi$ términos, y de la no-lineales y de presión de los términos.

El cilindro gira, lo que hace que las condiciones de contorno para la ecuación (2)

$u(r=0, t)=0$ $u(r=R, t)=R\omega_0$,

donde $R$ es el radio y $\omega_0$ es la frecuencia angular del cilindro. Para entender el segundo uno, mire, en la conocida solución de un problema similar en esta página de la Wikipedia o de este documento se hace referencia en la página de la Wiki. Las condiciones iniciales son

$u(r, t=0)=0$.

La ecuación (2) es muy bien conocida ecuación. Es la difusión o la ecuación del calor en el disfraz. Así, no es de extrañar, porque la viscosidad es nada más que la difusión de impulso. Al menos, esta es la forma en que se expresa en la viscosidad del término de la ecuación (1). La solución es fácil de obtener mediante separación de variables y el análisis de Fourier. No voy a resolver aquí, porque es un bien entendido problema matemático, con el que los estudiantes de posgrado son sistemáticamente torturados con gran éxito. Esta página de la Wikipedia lo describe.

Y la parte posterior de la envolvente estimación mencioné en mi comentario viene de análisis dimensional de la ecuación (2). Si la velocidad típica de la escala del problema es $U$, la escala espacial es $R$ y la escala de tiempo es $T$, entonces (2) se puede aproximar como

$\displaystyle\frac{U}{T} \approx \mu \frac{1}{R} \frac{1}{R} R \frac{U}{R}$,

o

$T \approx R^2/\mu$,

que es una estimación aproximada de su spin-up.