Esto es un poco complicado: En un sentido, sí. Esto es consistente con la teoría de conjuntos sin opción de que el conjunto de los reales es una contables de la unión de conjuntos contables. Esto hace que sea imposible tener un trivial medida que se desvanece en los embarazos únicos.
Por otro lado, contables elección es suficiente para el desarrollo de la medida de Lebesgue y sus propiedades básicas. Es más natural y cómodo para trabajar con el más fuerte axioma de dependiente de decisiones, pero uno puede hacer con contables elección.
Sin embargo, uno puede todavía quieren desarrollar tanto de la teoría como sea posible en un sin elección configuración, teniendo en cuenta las limitaciones que el primer párrafo de arriba pone de relieve. El enfoque estándar, a continuación, no es para trabajar directamente con los conjuntos de Borel, sino más bien con sus códigos. Un código para un conjunto de Borel es real (o una secuencia de números enteros, o un cierto árbol) que especifica (a través de algunos fijos convención) testigos para el conjunto de Borel: Enumerar el open básica de conjuntos. Un conjunto abierto es la unión de algunos de ellos, por lo que puede ser especificado por una lista de los índices de estos bloques abiertos. Un conjunto cerrado es un complemento de uno de estos, por lo que el código podría comenzar con un número que entendemos que es nuestra convención para "complementar" y, a continuación, una lista de open básica de conjuntos. Una $F_\sigma$ es una contables de la unión de conjuntos cerrados, por lo que podría comenzar con un número que representa "la unión" y, a continuación, interleave (en algunos fijos de la moda) códigos para la countably muchos conjuntos cerrados. Etc. Esto es más robusta que la de tener simplemente los conjuntos de Borel, como la falta de elección pueden prevenir ciertas posibilidades. Por ejemplo, uno puede mostrar que no hay ningún código para $\mathbb R$ testigos de que es una contables de la unión de conjuntos contables.
Podemos desarrollar la teoría de la medida en los códigos, en una lo suficientemente robusto para recuperarse lo suficiente de las propiedades de la medida de Lebesgue que la función terminamos con los aspirantes a ser reconocidos como tales. Contables de la suma, por ejemplo, sólo sería con respecto a las secuencias codificadas de distintos conjuntos, etc. Y (código) $\mathbb R$ es asignado medida infinita, como se esperaba (en vez de medida cero, como habría sido el caso si se trató de trabajar directamente con los conjuntos).
(Para una rápida idea de lo que pasa aquí, echar un vistazo a cómo Solovay desarrolla y utiliza los códigos en su trabajo sobre la consistencia de "todos los conjuntos de reales son Lebesgue medible".)
La única referencia que conozco para este es el Volumen 5 de Fremlin de la monografía sobre la teoría de la Medida. Fremlin la notación y estilo puede tomar algún tiempo para acostumbrarse, pero la presentación es muy clara y completa, por las sutilezas se señaló, y las diferencias y limitaciones de los sin elección configuración versus el enfoque habitual se indican claramente.
