Definición de la Orientación del Manifold

Question

En Shigeyuki Morita de la Geometría de Formas Diferenciales, orientability se define de la siguiente manera:

Si podemos asignar una orientación a cada punto de un colector $M$ de tal manera que las orientaciones como cualquiera de los dos lo suficientemente cerca de los puntos en $M$ son coherentes, se dice que el $M$ es orientable. (Página 48)

Sin embargo, previo a esta definición, nunca es definido explícitamente lo que significa que dos puntos coherente orientaciones. La única explicación es que en la discusión sobre las superficies:

Cuando la orientación se especifica en un punto, el "mismo" que es la orientación especificada en un punto arbitrario en una vecindad del punto. Este es el llamado coherente de orientación. Podemos especificar una orientación en un punto sobre una superficie, y elija la orientación coherente en cada punto de una curva que empieza en el punto. Si la curva se vuelve al punto de partida, la orientación original puede o no coincidir con la orientación propaga a lo largo de la curva. Ahora una superficie es orientable si la orientación propaga a lo largo de cualquier curva siempre trata de volver a la partida de orientación. En este caso podemos asignar una orientación para todos los puntos en la superficie de tal manera que cerca de los puntos mutuamente coherentes orientaciones. (Página 46)

Página 47, a continuación, consiste en la definición de orientaciones en un punto de $p\in M$ por la elección de una base en el espacio de la tangente $T_{p}M$ junto con el estándar de la "mano derecha de orientación" de $\mathbb{R}^{3}$ ejemplo, pero nunca se dice lo que significa para las orientaciones a ser "el mismo" o coherente entre los puntos, o cómo la orientación de un punto especifica uno de los puntos en un barrio de ese punto.

La cosa más cercana que podía pensar sería que la existencia de un atlas de modo que el Jacobians de los mapas de transición entre dos listas locales es positiva, como es la definición en do Carmo las Formas Diferenciales y Aplicaciones, Página 50. Sin embargo, la equivalencia de estas declaraciones es dado como una proposición en la Morita del texto, justo después de la definición de orientability sin pruebas, que no permite que para mí ver cómo la definición que se utiliza.

Cualquier ayuda con el suministro de una definición explícita de orientaciones entre dos puntos a ser coherente sería muy apreciada. A lo mejor me estoy perdiendo algo obvio, y si este es el caso, me gustaría mucho que se muestra donde está.

Answer 1

Permítanme hablar de un vector paquete de $E \to M$ a través de una suave colector $M$, y deje $F$ ser la típica de la fibra del paquete $E$. En particular, para cada punto de $p \in M$ podemos encontrar una abierta vecindario $U \ni p$, de tal manera que $E|_U$ es diffeomorphic a $U \times F$. Una selección de $\varphi \colon E|_U \to U \times F$ se llama un local de la trivialización de $E$.

Los puntos de $p,q \in M$ son "lo suficientemente cerca" si existe un conjunto abierto $U \subseteq M$, de tal manera que $p,q \in U$ y hay un local de la trivialización $\varphi \colon E|_U \to U \times F$.

En el trivial vector paquete de $V \times F$ todas las fibras son canónicamente isomorfo a través del mapa de $\tau \colon (p,v) \mapsto (q,v)$. El uso de este se puede comparar con las orientaciones de las fibras $E_p$ $E_q$ "lo suficientemente cerca", apunta. Si el isomorfismo canónico $\tau$ es de la orientación de la preservación de estos puntos, el elegido orientaciones de las fibras se llama coherente.

Uno puede encontrar algunas ideas de cómo hacer las declaraciones completas, por ejemplo, en esta discusión, y en los libros de texto, por ejemplo, Loring Tu, "Una Introducción a los Colectores", p. 240.

Answer 2

Entender en primer lugar qué entendemos por una orientación para $\mathbb{R}^3$. Esto está ligado a la idea de un diestro conjunto de vectores: se dice $\{v_1,v_2, v_3 \}$ es un diestro conjunto de vectores si $\text{det}(v_1|v_2|v_3)>0$. Geométricamente, esto significa que $v_3$ está en el mismo lado del plano atravesado por $v_1$$v_2$$v_1 \times v_2$. Estamos más que esté familiarizado con el caso de un ortonormales diestro marco donde simplemente debemos insistir $v_1 \times v_2 =v_3$. En dos dimensiones, la condición de $\{ v_1,v_2 \}$ ser la mano derecha de nuevo es capturado por $\text{det}(v_1|v_2)>0$. Geométricamente, la condición en dos dimensiones significa que el segundo vector se obtiene a partir de la primera por una contra-rotación en sentido horario. En todos los casos, una orientación que nos permite decidir qué camino es hacia arriba una vez que todas las otras formas son fijos. Para ser un poco más precisos, si corregimos $n-1$ coordenadas en $\mathbb{R}^n$, a continuación, una orientación que nos proporcione un marco en el que podemos decidir lo que la dirección positiva es para el resto de las $n$-ésima coordenada. Esto es equivalente a insistir en que hay que ser un ordenado conjunto de vectores $\{v_1,v_2,\dots v_n \}$ que $\text{det}[v_1|v_2|\cdots|v_{n-1}|v_n]>0$.

Los detalles de la elección: ok, supongamos $v_1,\dots , v_{n-1}$ son fijos y se le da $a,b$ vectores en $\mathbb{R}^n$$\text{det}[v_1|v_2|\cdots|v_{n-1}|a]>0$, mientras que de $\text{det}[v_1|v_2|\cdots|v_{n-1}|b]<0$. Entonces, en términos de la orientación de la $\{v_1,v_2,\dots v_n \}$ ver $a$ puntos en el ascendente-la dirección, mientras que $b$-puntos en la tendencia a la baja de la dirección. Por supuesto, este comentario es en relación con el sistema de coordenadas definido por el lapso de la orientación.

Respecto a la cuña del producto: $$ v_1 \wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_n = \text{det}[v_1|v_2|\cdots|v_{n}] e_1 \wedge e_2 \wedge \cdots \wedge e_n. $$ Donde $(e_i)_j = \delta_{ij}$ define el estándar. El coeficiente de la $n$-formulario será positivo si el conjunto de vectores $\{v_1,v_2, \dots, v_{n}\}$ comparte la misma orientación que la norma base. Además, todos los relacionados con bases de formar la denominada orientación estándar de $\mathbb{R}^n$.

Ahora, para el caso de un colector es prácticamente el mismo, sin embargo, tenemos que considerar que las derivaciones a los que llenan $T_pM$ varios $p$. La orientación natural, dado por un gráfico de coordenadas $(x^i)$ $p \in M$ es simplemente la orden de $n$-tupla (usando $\partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i}$) $$ \{ \partial_1|_p, \partial_2|_p, \dots, \partial_n|_p \}$$ doble a estos $dx^1, dx^2, \dots dx^n$ formulario de la forma de volumen: $$ vol=dx^1 \wedge dx^2 \wedge \cdots \wedge dx^n$$ Teniendo en cuenta esto, podemos juzgar si $v_1,v_2, \dots v_n$ es una orientación coherente a la que es, naturalmente, inducida a partir de la coordenada derivaciones. Simplemente marque: $$ vol(v_1,v_2, \dots , v_n) > 0 ? $$ Ahora, si hay otro sistema de coordenadas $(y^j)$ también se define en$p$, entonces podemos preguntar si $$ \{ \partial/\partial y^1,\partial/\partial y^2, \dots, \partial/\partial y^n \}$$ formas coherentes de orientación con el que ya inducida por la de $(x^i)$. La regla de la cadena se conecta al $x$ $y$ coordinar derivaciones y cuando nos alimentamos de que el volumen de forma que se encuentre el determinante de la transición de la función aparece. Por lo tanto, dos sistemas de coordenadas de proporcionar coherente orientaciones si su transición de las funciones Jacobians con determinante positivo.

Todo esto dicho, parece que la frase que usted cita:

Si podemos asignar una orientación a cada punto de una variedad M de tal manera que las orientaciones como cualquiera de los dos lo suficientemente cerca de los puntos de M son coherentes . .

se puede aplicar a lo que yo describo arriba. Pero, la más grande idea se refiere a una curva así que casi seguro que la discusión anterior acerca de coordinar inducida por orientaciones no es la verdadera respuesta a la pregunta.

¿Qué acerca de una curva? Morita habla sobre la elección de una orientación a lo largo de la curva. No estoy del todo seguro de que la construcción que tiene en mente. Pero, he aquí una posibilidad: dada una curva podemos enmarcar la curva utilizando el vector tangente, y el cambio en el vector tangente etc.. así, en abstracto, de cómo enmarcar una curva? Dejo a su imaginación, pero, en muchos casos se puede hacer. Así, no es una forma natural para asignar $n$-vectores $f_1(t), \dots , f_n(t)$ a una determinada curva en el punto de $\gamma(t)$. Supongamos que la curva es cerrada tal que después de tiempo $T$ la curva vuelve al punto inicial $p=\gamma(0)=\gamma(T)$. Entonces, podemos comparar las orientaciones de $f_1(0), \dots , f_n(0)$ $f_1(T), \dots , f_n(T)$ y ver si son compatibles (coherente). En particular, se alimentan tanto a la forma de volumen en $p$ y ves que comparten el mismo firmado resultado. Si usted hizo esto por la tangente, normal campo marco de una curva en la banda de Möbius, a continuación, usted encontrará la orientación llevada por el marco de la curva no era coherente cuando usted va alrededor de la banda de una vez.