Demuestra que $k[x,y]/(xy-1)$ no es isomorfo a un anillo polinómico en una variable.

Question

Dejemos que $R=k[x,y]$ sea un anillo polinómico ( $k$ por supuesto, es un campo). Demuestre que $R/(xy-1)$ no es isomorfo a un anillo polinómico en una variable.

Answer 1

Supongamos que $R\simeq K[T]$ , donde $K$ es un anillo conmutativo. Entonces $K$ es un dominio integral y como $\dim K[T]=1$ obtenemos $\dim K=0$ (¿por qué?). De ello se desprende que $K$ es un campo. Así que $k[X,X^{-1}]\simeq K[T]$ . Ahora usa esta respuesta .

Answer 2

En las líneas de la respuesta aceptada, se puede demostrar que la dimensión global de $k[x,x^{-1}]$ es $1$ por lo que si es isomorfo a un anillo de polinomios, debe ser isomorfo a uno de la forma $D[y]$ con $D$ un dominio conmutativo semisimple, que es por tanto un campo.

Answer 3

Tenemos $k[x,\frac{1}{x}]$ como un anillo. Formar un anillo de polinomios $k[x,\frac{1}{x}][y]$ con y como variable. Construir un mapa de evaluación $\phi$ $$\phi:k[x,\frac{1}{x}][y] \to k[x,\frac{1}{x}], \text{with }x\to x, \frac{1}{x} \to \frac{1}{x}, y \to \frac{1}{x}$$ entonces $\phi$ es obviamente un morfismo de anillo. Ahora, por el teorema del factor, si $f\in k[x,\frac{1}{x}][y], f\in \ker\phi$ entonces $f(1/x) = 0$ , lo que da $(y-1/x)|f$ . Nótese que 1/x se toma aquí como una constante.

Ahora bien, si $f\in k[x][y] \subset k[x,\frac{1}{x}][y] $ entonces $f = g(y-1/x), g \in k[x,\frac{1}{x}][y]$ . Ahora sólo hay que demostrar que g está en $k[x][y]$ y luego hemos mostrado $k[x][y]/(xy-1) \cong k[x,1/x]$ , ahora revisa la respuesta aceptada por el usuario26857.