Constante elástica equivalente para una red cuadrada infinita de muelles

Question

Considere una cuadrícula cuadrada infinita, donde cada lado de un cuadrado es un muelle que sigue la ley de Hooke, con constante de muelle $k$ .

¿Cuál es la relación entre la fuerza y el desplazamiento entre dos puntos? Si son proporcionales, ¿cuál es la constante elástica equivalente entre el origen y el punto $(x,y)$ (números enteros) ?

Edición 1 : También quiero saber esto: Supongamos que los muelles son tan pequeños que se pueden tratar como una lámina continua, ¿a qué velocidad se propagará una onda? Suponiendo una onda que parte de un desplazamiento inicial perpendicular a la lámina.

Dado un estado inicial, ¿existe una ecuación para la evolución temporal de la hoja continua?

Edición 2 : Supongamos que hay una masa en cada nodo, y su $(x,y)$ -coordenadas es fija, sólo vibra fuera del plano. Consideremos que tomamos el límite continuo, de forma que obtenemos una membrana 2D de densidad de masa $\mu$ .

1. ¿Es isótropa la membrana?
2. Supongamos que utilizamos otro mosaico (como el hexagonal) antes de tomar el límite continuo, ¿se comportará igual esta hoja?
3. Si no es así, pero ambos son isótropos, ¿cómo se caracteriza su diferencia, se puede hacer que se comporten de la misma manera cambiando la constante de resorte $k$ ?
4. ¿Cuál es la ecuación de movimiento de la lámina cuadrada con constante de resorte $k$ ?
5. Cuál es la ecuación de movimiento de la lámina cuadrada si los muelles obedecen a una ley de Fuerza generalizada, $F=kx^n$ donde $n$ es una variable.
6. ¿Cuál es la ecuación de movimiento de una malla cúbica en 3D?

Me interesan especialmente las respuestas a las preguntas 1, 2 y 3. No espero que nadie responda a todas ellas y también aceptaré una respuesta que no explique nada, sino que simplemente proporcione una buena referencia.

Answer 1

Responderé sólo a la tercera (al menos por ahora); el movimiento con límite a pequeñas oscilaciones verticales se regirá por el ecuación del tambor :

$\ddot{s}(x,y)=c^2 \nabla^2 s(x,y)$

donde $s(x,y)$ es un desplazamiento vertical en el punto $(x,y)$ y $c$ es la velocidad de tejido; utilizando el análisis dimensional diría que $c\sim\sqrt{\frac{k}{\sigma}}$ donde $\sigma$ es la densidad de masa. Por supuesto, todo se vuelve mucho más complejo con amplitudes mayores.

Answer 2

Me atengo a la primera pregunta.

Si sólo se realizan pequeños desplazamientos, y los dos puntos se encuentran a lo largo de la misma línea de muelles, entonces el índice de elasticidad efectivo es

$$ k_{eff} = \frac{k}{N} $$

donde $N$ es el número de muelles entre los puntos. ¿Por qué? Pues divide el problema así

(inf)---[k_out]---(A)---[k_in]---(B)---[k_out]---(inf)

donde (A) y (B) son los dos puntos, y los muelles se sustituyen por los muelles efectivos [k_out] entre los puntos y el infinito, y [k_in] entre los dos puntos. La fórmula para muelles en serie es $\frac{1}{k_{eff}} = \frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\ldots$ o $k_{eff}=k/N$ si todos los muelles tienen el mismo índice. Así que [k_out] es cero porque $N=\infty$ y lo que queda por considerar son sólo los muelles entre los puntos.

Nótese que los muelles fuera de la línea de los puntos no son importantes para desplazamientos pequeños porque sólo contribuyen con no linealidades de orden superior.

Para la hoja continua se necesitan ecuaciones completamente diferentes. La velocidad de las ondas también tiene que ver con la masa/densidad de la lámina, no sólo con la elasticidad y la rigidez.

Answer 3

Si en cada nodo de la malla tienes una pequeña masa, entonces tienes un modelo para un sólido bidimensional. Se comportaría como una membrana bidimensional. La ecuación de movimiento para cada perturbación sería una ecuación de onda. En el caso de una rejilla unidimensional, la velocidad de onda para dicha onda sería

$$c^2=\frac{kl^2}{m}$$

donde l es la distancia entre dos masas vecinas. En el caso de la cuadrícula bidimensional, probablemente también tendrás un factor geométrico.

Actualización: En cuanto a la última edición, si tienes una tensión que caracteriza la membrana, entonces la velocidad es la raíz cuadrada de la tensión sobre la densidad de masa. Así que la geometría de la cosa jugaría algún papel tanto en la tensión como en la densidad de masa. Eso es porque si cambias la forma de la célula, entonces asignas una superficie diferente para cada masa y también asignas un número diferente de brunches con muelles a cada nodo cambiando así la constante efectiva del muelle. Estas son mis conjeturas cualitativas.