¿Alguna pregunta interesante acerca de un grupo G es decidible de una presentación de G?

Question

Decimos que un grupo G es en la clase F_q si no es un CW-complejo, que es una BG (es decir, que ha fundamentales del grupo G y contráctiles la universalización de la cobertura) y que ha finito q-esqueleto. Por lo tanto F₀ contiene todos los grupos, F₁ contiene exactamente la finitely grupos generados, F₂ el finitely presentado los grupos, y así sucesivamente.

Mi pregunta: Para un fijo q ≥ 3, es posible decidir, a partir de un número finito de presentación de un grupo G, si G es F_q o no? Supongo que no, pero no estoy teniendo mucha suerte de probarlo.

Un enfoque podría ser demostrar que si G es un grupo en F_q y H es un finitely presentado subgrupo, entonces H ∈ F_p así. Esto haría de estar en F_p una propiedad de Markov, o al menos lo suficientemente cerca como para hacer lo indecidible.

Henry Wilton comentario de abajo deja en claro que siendo F_q no es hasta cuasi-Markov, por lo que esta idea no va a funcionar. Yo todavía la sospecha de que "G ∈ F_p" no es decidable, pero ahora mi intuición es de Arroz del teorema:

Si $\mathcal{B}$ es un conjunto no vacío de funciones computables con vacío complemento, entonces ningún algoritmo acepta una entrada de n y decide si φ_n es un elemento de $\mathcal{B}$.

Parece a mí que algo similar es verdad finito de las presentaciones y los grupos a los que ellos definen.

John Stillwell notas de abajo que esto no puede ser cierto para un número de cuestiones relacionadas con la abelianization de G. Esto no afecta a los Rasgones de la construcción/1-2-3 teorema de discusión a continuación si la homología de la esfera idea funciona, ya que los grupos son todos perfectos.

Los pensamientos?

Answer 1

¿Me parece que el análogo del teorema de Rice no para grupos finitamente presentados $G$ por preguntas como: es abelianization de $G$ de la fila 3? El rango de la abelianization de cualquier finitamente presentado $G$ puede ser computado reduciendo la abelianization de forma normal, por lo que puede decidir esta pregunta (un poco) interesante de la presentación de $G$.

Answer 2

[Esto responde Reid petición de un ejemplo en los comentarios, en respuesta, a fin de ser capaz de previsualizar]

Stallings ha dado en [Stallings, Juan. Un finitely presentado el grupo cuyos 3-dimensional integral de homología no es finitely generado. Amer. J. Math. 85 1963 541--543. MR0158917] un ejemplo de un finitely presentó el grupo de $G$ tal que $H_3(G)$ no es finitely generado. Se sigue de esto que el 3-esqueleto de la $BG$ es infinito. El grupo es $$G=\langle a,b,c,x,y:[x,a], [y,a],[x,b],[y,b],[a^{-1}x,c],[a^{-1}y,c],[b^{-1}a,c]\rangle.$$ Stallings papel característico es corta y hermosa, y la prueba es una buena aplicación de Mayer-Vietoris (!)

Answer 3

No tengo una respuesta completa, pero aquí están algunos pensamientos.

Los Rasgones de la Construcción lleva un arbitrario finitely presentado el grupo Q y produce una de 2 dimensiones hiperbólicas grupo $\Gamma$ y una breve secuencia exacta

$1\to K\to \Gamma\stackrel{q}{\to} Q\to 1$

tal que el kernel $K$ es generado por 2 elementos. Resulta que, por un resultado de Bieri, que $K$ es finitely presentable si y sólo si $Q$ es finito.

Se puede mejorar la finitud de las propiedades de $K$ utilizando una fibra de la construcción del producto. Vamos

$P=\{(\gamma,\delta)\in\Gamma\times\Gamma\mid q(\gamma)=q(\delta)\}$.

Por el '1-2-3 Teorema', si $Q$ es de tipo $F_3$ $P$ es finitely presentable.

Me imagino que $P$ tiene buenas superior finitud propiedades si y sólo si $Q$ es finito. Tal vez uno puede usar el hecho de que $P\cong K \rtimes\Gamma$.

Incluso si esto es cierto, entonces todavía no acaba de resolver su problema, como no tenemos una presentación para $P$. Para hacer esto, uno debe ser dado un conjunto de generadores para $\pi_2$ de la presentación del complejo de $Q$, que permite aplicar un efectivo de la versión de 1-2-3 Teorema. (En ausencia de estos datos, presentaciones para $P$ son no computables. De hecho, $H_1(P)$ no es computable.)

Pregunta: ¿existe una lista de presentaciones para grupos $Q_n$ tal forma que:

1. cada grupo $Q_n$ es de tipo $F_3$;

2. el conjunto $\{n\in\mathbf{N}\mid Q_n\cong 1\}$ es recursivamente enumerable, pero no recursivo;

3. pero los generadores de $\pi_2(Q_n)$ ($Q_n$- módulo) son computables?

Si es así, y si estoy en lo correcto de que la mayor finitud propiedades de $P$ son determinados por $Q$, luego más finitud propiedades son de hecho indecidible. Basta con aplicar los Rasgones de la Construcción, la eficacia de la versión de 1-2-3 el Teorema de la lista $Q_n$.

Answer 4

Estoy fascinado por su pregunta acerca de si hay un número finito de una presentación de un grupo análogo de Arroz del teorema. Si es verdad, esto podría resolver tu pregunta original y todos los demás similares decidability preguntas acerca de presentaciones de grupo, siempre que se pregunta acerca de la clase de los grupos presentados, en lugar de una pregunta acerca de la presentación en sí. Un teorema sería simultáneamente respuesta a cientos de similar decidability preguntas.

La evidencia en contra de un análogo de Arroz del teorema de incluiría el hecho de que hay una gran cantidad de grupos que tienen muy agradable decidability características. Por ejemplo, la clase de automático grupos tienen muchas decidable propiedades. Tienen decidable problemas de palabra, y es decidable si son o trivial trivial, ya que son infinitos o no. Creo que el conjugacy problema es decidable, cuando la presentación de el grupo y subgrupo es automática. De acuerdo a la página de Wikipedia, la automática de grupos incluyen

• Negativamente curva grupos
• Euclidiana grupos
• Todos finitely generado grupos de Coxeter [1]
• Trenza de grupos
• Geométricamente grupos finitos

Automaticidad no depende de que el conjunto de generadores. Además, a veces se puede determinar a partir de una presentación que uno tiene un grupo automático. Recuerdo que el Magnus teoría de grupo programa es muy feliz cuando encuentre una presentación a un grupo que le es automática, y le dirá así (pero no tengo tanta experiencia con estos programas).

Pero esta evidencia no parece refutar el Arroz teorema análogo, a menos que se podría decir de una presentación si era automática o no. Al menos a veces podemos, pero no creo que la automaticidad es decidable en general.

Así que estoy esperando por una respuesta positiva a la de Arroz Teorema análogo.

Answer 5

He estado dijo que la respuesta a una pregunta relacionada (es decir, puede uno decidir si un grupo finitamente presentado tiene un espacio finito de clasificar) es no, y que la prueba puede ser extraída del libro '' equipos, rigidez y módulos ''. Me imagino que también se puede consultar el libro para una prueba de la pregunta original, pero el libro está ahora disponible para mí.