El ideal máximo en un anillo local es finitamente generado

Question

Supongamos que$m<R$ es el ideal máximo de un anillo local conmutativo con identidad, tal que$m=m^2$. $m$ Está generado? ¿Es la condición$m=m^2$ redundante?

Estoy tratando de aplicar el lema de Nakayama al ideal máximo$m$, pero no puedo elegir un sistema de generación finito para ello.

Answer 1

Deje $k$ ser un campo y $A=k\times k\times ...$ el producto de denumerably muchas copias de $k$.
Deje $I\subset A$ a ser el ideal de un futuro de cero y secuencias de $\mathfrak m\supset I$ un ideal maximal que contiene.
Ya en $A$ cada elemento $a$ es múltiplo de $a^2$, ciertamente tenemos $\mathfrak m=\mathfrak m^2$ pero $\mathfrak m$ no es finitely generado: otra cosa sería generada por un idempotente ( por Nakayama ).

Editar
Desde que el OP ha editado su pregunta, solicitando un ejemplo con un anillo local, aquí es un ejemplo.

Considerar el dominio $A=\mathbb Q[X^{1/n}|\; n=1,2,\cdots]$ consiste en "polinomios" sobre un campo $k$ positiva con exponentes racionales, y su ideal maximal $M=\langle X^{1/n}|n=1,2,\cdots\rangle\subset A$.
Obviamente $M=M^2$.
Si ahora nos localizar en $M$ se obtiene la necesaria anillo local $R=A_M$, con la máxima ideal $\mathfrak m=MA_M$.

De hecho, $\mathfrak m=\mathfrak m^2$ es clara y que el ideal no es finitely generado: el más simple argumento es más que si lo fuera, sería generado por un solo elemento idempotente (Nakayama).
Pero esto es imposible, porque $R$ es un dominio y por lo tanto sólo ha $1$ $0$ idempotents.

Answer 2

Georges se ha respondido a la pregunta, pero quiero señalar otro ejemplo familiar a partir de la teoría de números. Deje $\mathbf C_p$ indica el $p$-ádico de los números complejos (es decir, la finalización de la clausura algebraica de $\mathbf Q_p$). Su anillo de enteros $\mathcal O_{\mathbf C_p}$ es un anillo local con ideal maximal $\mathfrak m$ que satisface $\mathfrak m = \mathfrak m^2$ (debido a que cada elemento de a $\mathfrak m$ tiene una raíz cuadrada en el algebraicamente cerrado campo de $\mathbf C_p$, lo que necesariamente también se encuentra en $\mathfrak m$). Por otro lado, $\mathfrak m$ no es finitely generado, debido a que contiene elementos de arbitrariamente pequeño valor absoluto.