Aplicación de la desigualdad de Hölder en $\mathbb R^n$

Question

Dejemos que $1 \leq p < q \leq \infty$ ( $p$ y $q$ no están relacionados de otra manera).

Dado $\|x\|_q\leq\|x\|_p $ $\forall$ $ x \in \mathbb R^n$ ¿cómo puedo utilizar la desigualdad de Hölder para demostrar $\|x\|_p\leq n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\|x\|_q$ .

Puedo ver este enlace es un tema relacionado pero no pude reconocer el uso de la desigualdad de Hölder allí. ¿Me he perdido algo?

Estoy asumiendo que tengo que decir $\|x\|_p \leq \|x\|_1\leq...$ y aquí necesito encontrar funciones $f$ $g$ tal que $\|x\|_1 \leq \|fg\|_1$ . ¿Existe una "regla general" para elegir las funciones en estos casos?

Answer 1

El truco consiste en utilizar la función constante $1$ .

Dejemos que $r$ sea el exponente dual de Hölder de $q/p$ (que es $\ge 1$ por la suposición), es decir $\frac1{q/p} + \frac1r=1$ . Entonces tenemos:

$$ \|x\|^p_p = 1\cdot |x_1|^p + \cdots + 1\cdot |x_n|^p \le \left(1^r+\cdots+1^r\right)^{1/r} (|x_1|^q+\cdots+|x_n|^q)^{p/q}=n^{1/r} \|x\|_q^p$$

Así que $\|x\|_p \le n^{\frac1p-\frac1q} \|x\|_q$ .

Como puedes ver esto es independiente de la desigualdad $\|x\|_q\le \|x\|_p$ cuya demostración no requiere la desigualdad de Hölder (basta con normalizar y utilizar esa $|t|^q\le |t|^p$ para $0\le t\le 1$ como se muestra en la respuesta que enlazaste). Así que no te has perdido nada; no se utiliza la desigualdad de Hölder en esa respuesta enlazada.