Calcular:

Question

He encontrado esta pregunta en el libro de Olimpiada. Pero no pude encontrar la solución.

Se trata de calcular el número real siguiente: $$\sin{9°}$ $

Answer 1

Que $x = 18$ y $5 x = 90$ % que $2x = 90 - 3x$.

\begin{align} \sin(2x) &= \sin(90 - 3x)\\ 2 \sin x \cos x &= \cos 3x\\ 2\sin x \cos x &= 4\cos^3x - 3\cos x\\ 2\sin x &= 4\cos^2x - 3\\ 2\sin x&= 4 - 4\sin^2x-3\\ 4\sin^2x + 2\sin x - 1 &=0 \end {Alinee el} resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos $$\sin x = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ $ también $ ahora $$\cos x = \sqrt{1 - \sin^2x} = 0.951$ $ de $$\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}-1$ tan ese % $ $$\cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{0.951+1}{2}} = 0.987$finalmente, desde $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ para que % $ $$\sin 9 = \sin \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{2\cos \frac{x}{2}} = 0.156$Nota: ya que estamos con $x=18$ así que estamos en el primer cuadrante, por lo tanto todo el tiempo tomamos los valores positivos. También\begin{align} \cos 3x = \cos(2x+x) &= \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x\\ &= (\cos^2x-\sin^2x)\cos x - 2\sin x\cos x\sin x \\ &= \cos^3x-\sin^2x\cos x - 2\sin^2x \cos x\\ &=\cos^3x - 3\sin^2x\cos x\\ &=\cos^3x-3(1-\cos^2x)\cos x\\ &=4\cos^3 x - 3\cos x \end {alinee el}

Answer 2

$\sin18^{\circ}=\frac{\sqrt5-1}{4}$, que dice que $$\cos18^{\circ}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt5-1}{4}\right)^2}=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt5}.$ % $ $$\sin9^{\circ}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt5}}{2}}$$ Id est

Answer 3

Determinar $\cos(72^\circ)+i\sin(72^\circ)$; es una de las raíces de $z^4+z^3+z^2+z+1=0$. De esta forma, obtienes $\cos(18^\circ)$ y $\sin(18^\circ)$. Ahora es fácil conseguir $\sin(9^\circ)$.

Answer 4

sugerencia

$$\sin (5x)=\sin (2x+3x) $$ $$\sin (45^\circ)=\frac {\sqrt {2}}{2} $$

Answer 5

Para una aproximación del pecado 9 grados: primero, ampliar el pecado con la serie de Maclaurin, luego evaluar la serie para x = pi/20 (9 grados). Informática la serie n = 4 dará un resto de (pi/20) ^ 9 X 1/9! X cos(y x PI/20) que representa el error, donde y es un valor entre 0 y 1. Desde pi/20 ^ 9 X 1/9! es mayor que el término del resto y puede evaluarse fácilmente puede decirse que el error es inferior a este término. Los términos más usted calcular el más preciso el resultado.