Con consistencia para crear nuevos axiomas en teoría de conjuntos

Question

Como todo el mundo sabe, los axiomas de ZFC puede servir como una base para (casi) todos los de la matemática contemporánea, y también es bien sabido que varios de los resultados son "indecidable" en ZFC, lo que significa que no puede ser probada o refutada dentro de ZFC.

Por lo tanto, es natural buscar "nuevos axiomas" añadir a ZFC y hacer de él un sistema más fuerte. Pero por Gödel segundo teorema de la incompletitud, la consistencia de ZFC no puede ser deducido a partir de ZFC en sí.

Por lo tanto, podemos añadir el axioma "ZFC es consistente" y obtener un nuevo sistema de $ZFC_1$ consiste en "ZFC+(ZFC es consistente)". Podemos repetir este, y definir $ZFC_2$ "$ZFC_1$+($ZFC_1$ es coherente)", etc, y podemos incluso definir $ZFC_{\omega}$ o $ZFC_{\alpha}$ para cualquier ordinal $\alpha$.

Esto parece un poco demasiado fácil, así que mi pregunta para los lógicos, es : es esto de la construcción completamente irrelevante a la lógica ans teoría de conjuntos preguntas ? Si es así ¿por qué? Es cierto que los resultados que son clásicamente independiente de ZFC son también independiente de $ZFC_1$, $ZFC_2$, $ZFC_{\omega}$ etc ?

Answer 1

Este tipo de construcciones son interesantes! Sin embargo, a menudo hecho con PA en lugar de ZFC (ver nota). Para una discusión interesante, recomiendo Torkel Franzén del libro Inexhaustibility: no exhaustivo tratamiento (Notas de la Conferencia en la Lógica de 16, ASL, 2004). También puede leer este excelente artículo del blog de Mike O'Connor.

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Nota: Los siguientes se explica en Mike O'Connor del artículo, pero creo que tengo que aclarar por qué ZFC no es el ideal de la base de la teoría a hacer esto y por qué PA es un mejor candidato.

La idea es que Con(T) es generalmente entendida como una instrucción aritmética. Más precisamente, dada una relación de recurrencia para la presentación de la teoría T la declaración Con(T) es la aritmética de la formalización de "no hay ninguna prueba de una contradicción de T", que se codifica utilizando los números de Gödel de las pruebas y las fórmulas. (Este es el desordenado parte del Teorema de Gödel.) Esta es la razón por la PA, o más en general, cualquier recursivamente axiomatizable extensión de PA, ofrece un ambiente más natural para el análisis de dichas declaraciones. Por ejemplo, en lugar de ZFC, usted puede también utilizar el puramente aritméticos parte de ZFC.

También hay una aún más el problema fundamental con transfinito se repite. Dada una relación de recurrencia para la presentación de una teoría T, la iteración T₀ = T, T₁ = T₀ + Con(T₀), T₂ = T₁ + Con(T₁), etc. Puede ser continuado en el transfinito, pero sólo en un grado limitado. Es fácil dar una presentación recursiva de T_ω o T_ω+ω+3 , pero sólo hay countably muchos ordinales de que esto funciona. De hecho, estos iteración se define mejor en términos del ordinal notaciones que en términos de la adecuada ordinales. Ordinal notaciones puede ir muy lejos, pero hay claras limitaciones.

Estas dificultades y sus implicaciones se discuten en detalle en Franzén del libro. Como Mike O'Connor, explica, es natural ir más allá y extender estos subsistemas de segundo orden de la aritmética, pero allí y en el conjunto de la teoría de los principios pertinentes a estudio son reflejo de los principios y de gran cardenal axiomas que tienen mejores interpretaciones semánticas y tomar ventaja de sus más ricos de los alrededores.

Answer 2

Lo que proponemos es muy razonable, por supuesto, ya que cuando creemos en una teoría T, entonces es natural para nosotros también creemos que T es consistente. Y los axiomas que se proponen añadir a ZFC formalizar este proceso. El (filosófico) pregunta aquí es, ¿este proceso de alguna manera encontrar una conclusión?

(Permítanme que objetar a tu comentario de que podemos formalizar ZFC_α para cualquier ordinal α. Necesitamos que el ordinal α es de alguna manera representable en la teoría para que la afirmación Con(ZFC_α) para ser expresable. Por supuesto, en una contables idioma, sólo tenemos countably muchas declaraciones, y por lo tanto debemos agote la representable ordinales.)

La respuesta es que sus axiomas son el pre-inicios de la gran cardenal de la jerarquía, como se insinúa por Kristal Cantwell y Dorais. Si hay una (muy) inaccesible cardenal κ, entonces V_κ es un modelo de ZFC, y así su teoría ZFC₁ sostiene.

Pero me demanda mucho más, y de una más débil de la hipótesis. Uno no necesita un cardinal inaccesible, incluso para saber que todos los expresable ZFC_α son consistentes.

Me dicen que si hay un ω modelo de ZFC, entonces todos los expresable ZFC_α son verdadera y consistente.

Para ver esto, supongamos que M es un ω modelo de ZFC. Esto significa que M tiene el estándar de números naturales. De esto se sigue que los ordinales de M bien fundado de una cierta distancia por encima de ω, pero puede llegar a ser infundada, mucho más arriba. Puesto que M tiene el mismo números naturales tal y como hacemos en la meta-teoría, se sigue que M tiene exactamente las mismas fórmulas del lenguaje de la teoría de conjuntos y, lo que es más importante, exactamente las mismas pruebas. Por lo tanto, para cualquier teoría T que existe en M, será consistente en M si y sólo si es consistente.

Esto es suficiente para realizar un interesante rampa-para arriba argumento. Es decir, puesto que M es un modelo de ZFC, se deduce que ZFC es consistente para nosotros, y así M está de acuerdo, y de manera que M es un modelo de ZFC+Con(ZFC), es decir, de ZFC₁. Por lo tanto, ZFC₁ es consistente, y así M está de acuerdo en que ZFC₁ es consistente, y para M es un modelo de ZFC₂. Por lo tanto, ZFC₂ es consistente, y así M está de acuerdo, y así ZFC₃ es consistente, y así sucesivamente. ¿Puedes ver cómo funciona? Si ZFC_α es consistente, entonces M está de acuerdo (si α es en M), y de modo ZFC_α+1 también es consistente. (Y límite de las etapas son básicamente libre, ya que las pruebas son finitos.)

Por lo que el esquema de las teorías de ZFC_α forma una jerarquía de consistencia de la fuerza que se sienta muy baja por debajo del comienzo de la gran cardenal de la jerarquía. Pienso mucho en el sentido de tu pregunta es esta:

• Sabemos por el teorema de la Incompletitud de que ninguna teoría puede probar su propia consistencia, y así queremos considerar las teorías que trascender esta consistencia en la manera en la que usted describe.

Y esto es exactamente lo que el gran cardenal de la jerarquía proporciona. Cada nivel de la gran cardenal jerarquía implica la consistencia de los niveles inferiores, y la consistencia de la consistencia y así sucesivamente, repitiendo en el estilo de sus preguntas. Pero la gran cardenales son capaces de saltar más alto que estos pequeños pasos de la coherencia, por la búsqueda natural de axiomas que implica la consistencia de todas las iteraciones de la consistencia del proceso que se describe para los niveles inferiores.

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Acabo de darme cuenta de la poco al final de su pregunta, acerca de si la independencia de los resultados valen también para ZFC_α. Esta es una pregunta muy interesante, y la respuesta es Sí, todos ellos funcionan de la misma manera. La razón es que todos los de la independencia los resultados, demostrado por forzar o por el método de interior modelos, tienen la propiedad de que los modelos resultantes tienen la misma aritmética verdades como el modelo original. Desde la coherencia de las afirmaciones que se están considerando son arithemtic declaraciones, que no son afectadas por forzar o interior de los modelos. En particular, la de Cohen prueba de que Con(ZFC) implica Con(ZFC+CH) se convierte directamente en una prueba de que Con(ZFC_α) implica Con(ZFC_α+CH). Si uno se formaliza una versión de (ZFC+CH)_α, se deduce que será equivalente a ZFC_α+CH. Y lo mismo vale para el resto de amplia autonomía resultados de lo que soy consciente.

Answer 3

Si ZFC es consistente, entonces puede ser no pueden ser axiomatized con un número finito de axiomas. Por otra parte, la consistencia de ZFC sigue de la existencia de un cardinal inaccesible débil. Estos resultados son del articulo de Wikipedia sobre teoría determinada de Zermelo-Fraenkel.

Desde el artículo de wikipedia sobre la hipótesis del continuo afirma que hasta el momento es independiente de todo axiomas cardinales grandes en el contexto de ZFC.