¿Ayudar a entender Taylor ' teorema s - "cuando" hace una función lineal se convierte en?

Question

Es sabido que relativamente pequeños intervalos de alrededor de algún valor (es decir $a$), ninguna (?) función continua y diferenciable $f$ puede ser aproximada (en la región del intervalo) a una función lineal a través del teorema de Taylor con: $f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + h_k(x)(x-a)$

Cómo es esta noción se define con más precisión? Por ejemplo, decir que me tome la función de $x^2$, y estoy interesado en una región alrededor de $x=1$, ¿cómo puedo decir cómo cerrar mi función es lineal, como la región alrededor de la 1 se convierte en el más pequeño?

Answer 1

Cerca de el valor de $x = 1$, la función de $f(x) = x^2$ es bien aproximada por la función lineal $$ x \mapsto 2x - 1 $$ debido a $f(1) = 1$$f'(1) = 2$.

Cuando usted pregunta "¿qué tan grande un intervalo es bien aproximados?", le estás pidiendo algo como:

"Es $E(x) = x^2 - (2x - 1)$ muy diferente de $0$?" o, más en general, para cualquier función de $f$ y ubicación de $a$,

"Es $E(x) = f(x) - (f(a) + f'(a)(x-a))$ muy diferente de $0$?"

Que "la función de error" puede ser arbitrariamente diferente de $0$ en cualquier intervalo que usted nombre, es decir, puedo encontrar una función con el mismo valor y derivados, pero que aleja la aproximación lineal de la función tan rápido como te gustaría.

Pero un parcial de obligado está dado por el conocimiento de que cerca de $a$, $f$ generalmente es incluso mejor aproximar por $$f(a) + f'(a) (x - a) + \frac{1}{2} f"(a) (x-a)^2. $$

Así que si usted desea que el error a no ser más que, digamos, 0.3, entonces usted acaba de elegir a $a$, de modo que $\frac{1}{2} f''(a) (x - a)^2$ no es mayor que $0.3$. Eso no va a funcionar a la perfección, pero para muchas de las funciones que va a venir bastante cerca.

Un buen ejemplo a tener en cuenta es este:

El caso especial donde el punto de aproximación es $x = 0$, y la derivada no es $f'(0) = 0$. Entonces usted se está preguntando "Si yo sé que $f(0) = 0$$f'(0) = 0$, puedo estar seguro de que $|f(x)| < C$ (para un pequeño número de $C$) mientras $x$ está dentro de (digamos) $0.1$$0$?

La respuesta es un rotundo "no". Considere la función: $$ f(x) = Ax^2 $$

Tiene las propiedades ($f(0) = f'(0) = 0$) y, por tanto, cerca de $0$ es bien aproximada por la línea de $y = 0$. Pero en el intervalo de $-0.1 < x < 0.1$, la función de los rangos de$0$$\frac{A}{100}$. Si $A$ pasa a ser de un millón, que es una gran serie!

Answer 2

Considerar el Lagrange Error de enlazado.

Para una función LINEAL (que es un polinomio de aproximación de grado $1$), el error está dado por $\displaystyle E\leq\left|\frac{1}{2}\max(|f''(x)|)(x-a)^2\right|$

Para generalizar, para cualquier grado (n) Taylor aproximación (uno con derivados), el error está dado por $\displaystyle E \leq \left|\frac{1}{(n+1)!}\max\left(\left|f^{n+1}(x)\right|)(x-a\right)^{n+1}\right|$

Digamos que usted quiere encontrar el error máximo en $(x_1,x_2)$. Entonces su $(x-a)$ sería lo de $x_1$ o $x_2$ es el más alejado $a$. Su $f^{n+1}(x)$ sería el máximo valor de la derivada en el intervalo de $(x_1,x_2)$.

También hay que tener en cuenta que este es el máximo error posible.

Answer 3

Un resultado bien conocido es:

Un % de la función #% definida en una vecindad $f$ $N$ #% es diferenciable en $a \in \mathbb{R}$, con derivados $a$, si y sólo si existe una función $d$ definido sobre un % de barrio $\epsilon$tal que $N' \subseteq N$ $\epsilon(x) \to 0$ y $x \to a$: $x \in N'$ $

(Como otros han señalado, si en realidad $$f(x) = f(a) + d (x - a) + \epsilon(x) (x - a).$ es dos veces diferenciable, usted puede conseguir un límite algo más preciso sobre el error basado en el término de error de una aproximación de la serie de Taylor).

Answer 4

Vamos a hacer las cosas precisas paso-por-paso.

El primer paso es bastante simple:

Hay un tipo específico (de hecho, la única) función lineal $l(x)$ que es una forma arbitraria buena aproximación de $x^2$ cerca de $x=1$>

OK, eso no es mucho mejor, pero lo que quería señalar "$l$ " poco. Ahora, ¿qué significa ser un "arbitrariamente buena aproximación cerca de un punto"?

Bueno, el punto es que $l(x)$ $x^2$ "ir en la misma dirección" al $x=1$; si se dibuja la imagen de una línea tangente a una curva, usted verá lo que quiero decir. Y "dirección" se mide como el aumento de más de correr. Así que lo que queremos decir es:

Hay alguna función lineal $l(x)$ tal que (su gráfica pasa por $(1, 1^2)$ e) $x\rightarrow 1$ la proporción de ${l(x)-l(1)\over x-1}$ ${x^2-1^2\over x-1}$ acercamos más y más juntos.

Que aún no es precisa, pero estamos casi allí. El totalmente precisa definición es la siguiente:

Hay alguna función lineal $l(x)$ tal que $$\lim_{x\rightarrow 1}{l(x)-l(1)\over x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}{x^2-1^2\over x-1}.$$

Por supuesto, esto todavía no termina de cosas - tenemos necesidad de una definición rigurosa de los límites - pero eso es algo que usted probablemente ya has visto antes o que están a punto de ver: es el "$\epsilon$-$\delta$" cosas. El punto es que una vez que entendemos lo que son los límites, definir cosas como "aproximación lineal" es rápido y fácil.

Usted puede reconocer esto como diciendo, "En $x=1$, $l(x)$ y $x^2$ tienen la misma derivada. Esto, junto con la necesidad de pasar a través del punto de $(1, 1^2)$, da la aproximación lineal: $$y-1^2=2(x-1)$$ (here the "$2$" coefficient is the derivative of $x^2$ at $x=1$), or $$y=2x-1.$$

Answer 5

Creo que no es correcto preguntar ¿cuándo una función convertido lineal. Es como preguntar ¿cuándo un círculo convertido en una línea. Una función no lineal nunca va a ser lineal, no importa cuánto lo intente. Pero va por sus Taylor Teorema de expansión en el punto a, cada función es lineal cuando usted está muy muy cerca de una porque cuadrática y grandes potencias de (x-a) son muy pequeñas. De hecho, si x está muy cerca de una, y la función es continua y, a continuación, cada función es (casi) constante cerca de una. Y los términos "muy pequeño", creo, depende enteramente de la precisión que desee en el problema en cuestión.