Definir dos sistemas de ecuaciones sean equivalentes si tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones. La abstracción, la "solución de un sistema de ecuaciones" es el proceso de sucesiva sustitución de un sistema determinado por los sistemas equivalentes hasta que uno llega a un "tautológica" sistema cuyas soluciones se pueden leer por la inspección.
Por ejemplo, el sistema de
$$
\a la izquierda.
\begin{aligned}
y &= 2x + 3 \\
y &= x^{2} + 3x + 1
\end{aligned}
\right\}
\etiqueta{1}
$$
es equivalente, restando la primera ecuación de la segunda, para el sistema de
$$
\a la izquierda.
\begin{aligned}
y &= 2x + 3 \\
0 &= x^{2} + x - 2
\end{aligned}
\right\}
\etiqueta{2}
$$
en que $y$ ha sido eliminado de la segunda ecuación. Lo resolvió la segunda ecuación usando la fórmula cuadrática, la obtención de
$$
\a la izquierda.
\begin{aligned}
y &= 2x + 3 \\
x &= -2\quad\text{or}\quad 1
\end{aligned}
\right\}
\etiqueta{3}
$$
a continuación, utiliza de forma implícita la primera ecuación para deducir el valor correspondiente(s) de $y$.
"¿Por qué esto funciona" debe ser evidente. Desde este punto de vista, debería ser claro que el razonamiento
La equiparación de la curva y la recta que significa que comparten un único valor similar de $y$ mientras que claramente compartir dos.
apuntaría a una lógica de la brecha sólo si la ecuación de $y = y$ tienen una única solución. Pero la verdad es lo contrario: $y = y$ es una tautología; no tiene no tiene soluciones.
En general, cualquier "operación reversible" en un sistema de ecuaciones, se obtiene un sistema equivalente. Las operaciones siguientes (lista no exhaustiva!) son reversibles, es este sentido:
La adición de un (constante) múltiplo de una ecuación a otra ecuación.
La multiplicación de una ecuación por un no-cero constante, o por un no-desaparición de expresión.
Intercambiar dos ecuaciones.
La sustitución de una ecuación de $a = b$ $f(a) = f(b)$ para algunos inyectiva función de $f$. (Para las ecuaciones que involucran variables reales, esto incluye cubicación o exponentiating ambos lados, el cuadrado ambos lados cuando ambas partes son conocidos por ser no negativo, y así sucesivamente.)
Si $f$ $g$ son funciones, en sustitución de $f(y) = g(y)$ $f(\phi(x)) = g(\phi(x))$ para algunos inyectiva función de $\phi$.
Comparar los tres primeros con la eliminación Gaussiana algoritmo para los sistemas lineales de ecuaciones de varias variables.
