¿Por qué ' t el principio de incertidumbre contradicen la existencia de Estados de momentum definido angular?

Question

Sabemos que para una posición variable $x$ e ímpetu $p$, las incertidumbres de las dos cantidades son limitadas por

$$\Delta x \Delta p \gtrsim \hbar$$

Ahora, este es generalmente explicó en primer lugar con $x$ siendo un simple linealmente medir la posición y el $p$ impulso lineal. Pero se debe aplicar a cualquier buen coordinar y su conjugado impulso. Se debe, por ejemplo, se aplican a ángulo de $\phi$ sobre el $z$ eje, y el momento angular de $L_z$:

$$\Delta \phi \Delta L_z \gtrsim \hbar$$

La cosa es, $\Delta \phi$ nunca puede ser mayor que $2\pi$. Quiero decir, usted tiene que tener algún valor de $\phi$ $\phi$ sólo va de 0 a $2\pi$. Por lo tanto

$$\Delta L_z \gtrsim \hbar/\Delta \phi \geq \hbar/2\pi$$

Pero, uh-oh! Esto significa que es imposible para $\Delta L_z$ a ser cero, y nunca debemos ser capaces de tener el momento angular de los estados con relación a $L_z$ valores.

Por supuesto, esto no significa que. Pero nunca he dado cuenta de cómo esto no está en contradicción con la de Schroedinger eqn. los cálculos que nos dan los estados con valores definidos de $L_z$. Alguien me puede ayudar?

Una respuesta que puedo anticipar es que $\phi$ es una especie de "resumen" en la que si usted eligió su origen en algún otro punto que se consigue completamente diferentes valores de$\phi$$L_z$, e ipso facto, habitual consideraciones no se aplican. No creo que esto funcione, sin embargo. Considere la posibilidad de un "quantum de bolas de" deslizamiento en torno a un rígido anillo circular y se obtiene exactamente el mismo problema con ninguna ambigüedad en $\phi$ o $L_z$. (Bueno, habrá cierta ambigüedad en $\phi$, pero aún así, no habrá en $L_z$.)

Answer 1

El problema aquí es que no hay en este momento todavía no "legítimo" auto-adjunto de la fase de operador. Como usted frase el problema, se asume que el $\hat \phi$ $\hat L_z$ tendría las mismas relaciones de conmutación como $\hat x$$\hat p$, y, en particular, dado que el $\hat L_z\mapsto -i\hbar d/d\phi$ $\hat \phi$ operador sería la multiplicación de una función arbitraria $f(\phi)$$\phi$, es decir, $$ \hat L_zf(\phi)=-i\manejadores \frac{df}{d\phi}\, ,\qquad \hat \phi f(\phi)= \phi f(\phi) $$ Hasta ahora todo está bien, excepto que, cuando se trata de la condición de límite, debemos tener $f(\phi+2\pi)=f(\phi)$. Sin embargo, la función de $\phi f(\phi)$ no satisface este. Como resultado, la acción de un supuesto de $\hat \phi$ como se define anteriormente se lleva a un "legal" de la función de $f(\phi)$ que satisface las condiciones de contorno para un "ilegal" una $\phi f(\phi)$, y hacer $\hat \phi$ NO se auto-adjoint (que significa problemas).

La relación de las incertidumbres se supone que los operadores auto-adjuntos. Ya que no hay (hasta ahora) no se sabe la definición de $\hat \phi$ que hace es auto-adjunto, la cantidad de $\Delta \phi$ no puede ser computada en la forma habitual y, de hecho, no es necesariamente bien definidos arbitrarias de los estados. En otras palabras, no hay ninguna razón matemática para creer que $\Delta \phi\Delta L_z\ge \hbar /2$.

De hecho, una evidente "problema" con su expresión se obtiene mediante la toma de $f(\phi)$ a ser un eigenstate de $\hat L_z$. Entonces claramente $\Delta L_z=0$, por lo que la supuesta variación $\Delta \phi$ tendría que ser arbitrariamente grande, lo cual es imposible dado que el $\phi$ físicamente rangos de$0$$2\pi$.

El problema de la construcción de una auto-adjunto de la fase de operador es una vieja. Ha sido objeto de varias preguntas en este sitio, incluyendo este. Encontrar una buena definición de una fase operador sigue abierta la investigación del problema.

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Edit: añadido algunas aclaraciones después de una consulta.

Answer 2

Para complementar ZeroTheHero la respuesta, es posible deducir la incertidumbre de las relaciones mediante el uso de los operadores de $\cos\phi$ $\sin\phi$ porque los que ahora obtener la necesaria periodicidad para que coincida con lo $L_z$ esperar. Consulte la sección 4 en [1].

Aquí está un resumen de los principales resultados. Las relaciones de conmutación (en $\hbar=1$ unidades),

$$\begin{align} [\sin\phi, L_z] &= i\cos\phi,\\ [\cos\phi, L_z] &= -i\sin\phi, \end{align} $$

que conduce a la incertidumbre de las relaciones

$$\begin{align} (\Delta L_z)^2(\Delta\sin\phi)^2 &\ge \frac{1}{4}\langle\cos\phi\rangle^2,\\ (\Delta L_z)^2(\Delta\cos\phi)^2 &\ge \frac{1}{4}\langle\sin\phi\rangle^2. \end{align}$$

Pero la belleza de este enfoque es que por la elección de un estado lo suficientemente localizada sobre un ángulo de $\phi_0$, mediante la realización de una expansión de Taylor en $\delta\phi=\phi-\phi_0$, que degeneran a

$$\Delta L_z \sqrt{\langle(\delta\phi)^2\rangle} \ge \frac{1}{2},$$

que es una especie de incertidumbre en relación con el $\Delta\phi = \sqrt{\langle(\delta\phi)^2\rangle}$. Un aproximado de uno, sin embargo.

[1] P. Carruthers y Michael Martin Nieto, y el ángulo de Fase de las variables de la mecánica cuántica, Modif. Mod. Phys. 40 (1968), 411-440

Answer 3

Voy a dar dos respuestas, una ingenua, y una gran mentalidad. El ingenuo respuesta es que $\Delta\phi$ puede ser mayor que $2\pi$. Considerar el ingenuo derivación del ángulo/momentum angular de la incertidumbre respecto de la posición y momento lineal: nosotros simplemente multiplicar $\Delta\phi=\Delta x/R$ $\Delta L=R\,\Delta p$ donde $R$ es el radio de giro. Ahora la cuestión se vuelve claro $\Delta x/R$ aún puede tomar arbitrariamente grandes valores, es sólo el hecho de que las interpretamos modulo $2\pi$ que hace "limitado". En otras palabras, el "verdadero" ángulo debe ser medido en la universalización de la cobertura del círculo, que es $\mathbb{R}$, y puede tomar arbitrariamente grandes valores, para que las cuentas de toda la historia del movimiento de la "inicial" de la posición.

La explicación anterior es demasiado clásico para trabajar en el sentido riguroso. Para ser rigurosos, tenemos que reemplazar clásica ángulos y angular ímpetus con uno mismo-adjoint operadores, los cuales satisfacen la canónica de conmutación relación $[\hat L_z,\hat\phi]=i\hbar$ (es decir, son "conjugado"). Los problemas con la definición de dichos pares se discuten en la teoría Cuántica de los ángulos de rotación por Barnett y Pegg, a partir de la cual cito:

"Si representamos un momento angular operador $\hat L_z=-i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}$ y el ángulo de operador de multiplicación por $P$ , entonces el colector (2.4) es satisfecho. Sin embargo, esta representación del ángulo de operador a causa de problemas. Si $u(\phi)$ es un periódico de la función de onda, a continuación, $\phi u(\phi)$ no va a ser, y es, por tanto, fuera del momento angular en el espacio de estado. Juez y Lewis se dio cuenta de que los autovalores de un buen comportamiento del ángulo de operador tendría que limitarse a un $2\pi$ intervalo. Su solución fue modificar el ángulo del operador por lo que corresponde a la multiplicación por $\phi$, además de una serie de funciones de paso. Estas funciones de paso bruscamente cambiar el ángulo de $2\pi$ en puntos apropiados. El resultado de la conmutación relación entre este operador y $\hat L$, $\delta$- función plazo, además de la $i\hbar$ plazo desde el colector (2.4)...

Otro enfoque es el de evitar el problema de multivaluedness por no tratar con un ángulo de Hermitian operador en todo, sino sólo las funciones periódicas del ángulo de operador. Naturalmente, este enfoque no nos permite investigar las propiedades del ángulo operador de sí mismo."

El segundo párrafo es el riguroso versión de los ingenuos respuesta anterior. Para el Juez-Lewis tipo de operadores de la relación de las incertidumbres se modifica en $\Delta\hat\phi \Delta \hat L_z \gtrsim \frac12\hbar|1-2\pi P|$ donde $P$ es el angular de densidad de probabilidad en el límite de la gama angular, es decir, en la $\pi$/$-\pi$ la puntada, donde el $\delta$-funciones de vivir. En particular, no pueden ser estados que presentan una discontinuidad en el gradiente en $\pi$, pero el mínimo de incertidumbre de los estados no presentan dicha discontinuidad, véase el principio de Incertidumbre de la posición angular y el momento angular por Franke-Arnold et al.