¿3 º tipo de multiplicación vectorial al lado de la cruz punto producto?

Question

Yo estaba leyendo sobre cómo encontrar la raíz cuadrada de i , y me enteré de que la multiplicación de números complejos se podría ver geométricamente mediante la visualización de los números complejos como coordenadas en el número complejo avión $a_1+b_1i = (a_1,b_1)$$a_2+b_2i = (a_2,b_2)$. Uno puede tomar las coordenadas polares de los números complejos para dar a $(a_1,b_1) \Rightarrow r_1$, ángulo = $w$$(a_2,b_2) \Rightarrow r_2$, ángulo = $k$ . Y, finalmente, la multiplicación de los dos números puede ser visto como multiplicar $r_1$$r_2$, mientras que la adición de ángulos $w$$k$, para dar el producto de $r_3= (r_1)(r_2)$, ángulo = $w+k$ . Esto puede ser usado para intuitivamente encontrar la raíz cuadrada de $0 + 1i$.

Sin embargo, en mis libros de texto de matemáticas no he visto ningún tipo de vectores multiplicación similar a esto en lo que respecta a los números reales, sólo punto de los productos y de los productos cruzados. Este tipo de multiplicación servir a algún propósito en cuanto a número real vectores, ¿no es describir algo interesante? O es sólo útil cuando se trata de la multiplicación de los vectores en el número complejo avión?

Edit: $r$ es la descripción de la longitud total, o magnitud del vector. El ángulo representa la dirección que el vector que apunta en en lo que respecta al plano.

Answer 1

Cuando se hace vector de la geometría en el plano (geometría vectorial puro con ningún sistema de coordenadas), en todas las direcciones "buscar la igualdad".

La introducción de complejos multiplicación de tales vectores requiere una ruptura de esta simetría: se debe una sola dirección a jugar un papel positivo en el eje real, de modo que usted puede definir el ángulo polar. Y entonces los vectores en direcciones diferentes se comportan de manera diferente con respecto a la multiplicación. Creo que de cuadrar, por ejemplo: $1$ se asigna a sí mismo ($1^2=1$), mientras que $i$ no ($i^2=-1 \neq i$).

El punto y la cruz son los productos más geométrica, en el sentido de que no depende de ciertas direcciones especiales. (Bueno, en realidad el producto cruzado es bastante extraño demasiado, y es mejor aprender sobre el exterior y Clifford productos, tal como se recomienda en la respuesta por Bye_World.)

Answer 2

La analogía que estás buscando no es cualquier tipo de multiplicación vectorial propiamente. Es una multiplicación de la matriz. Identificar el número complejo $z=a+bi=re^{i\theta}$ con la matriz de $$Z=\pmatrix{a&-b\\b&a}=r\pmatrix{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta},$$ a scaled rotation. Then the product $ z_1z_2 $ directly maps to the matrix product $ Z_1Z_2$. Esta identificación corresponde a la interpretación geométrica de la multiplicación por un número complejo como una rotación de combinación y la dilatación.

Answer 3

Deje $I=e_1\wedge e_2$ ser positivamente orientada a la unidad de pseudoscalar del avión. A continuación, $a+bI$ donde $a,b\in\Bbb R$ es un spinor$^\dagger$, es decir, un objeto que utilizamos para rotar (y la escala) los vectores y sus dimensiones superiores análogos. A continuación, la composición de spinors corresponde a la multiplicación -- donde la multiplicación funciona exactamente como lo hace con los números complejos: $$R_1 = a+bI \\ R_2 = c+dI \\ R_2\circ R_1 = (c+dI)(a+bI) = (ca-db)+(cb+da)I$$

Tenga en cuenta que también podemos representar spinors en forma polar: $$R_1 = a+bI = |r_1|e^{\theta_1I} \\ R_2 = c+dI = |r_2|e^{\theta_2I} \\ R_2\circ R_1 = |r_1||r_2|e^{(\theta_1+\theta_2)I}$$

Así algebraicamente, el conjunto de spinors en el plano se comportan exactamente como los números complejos. Y, de hecho, moviéndose de una dimensión, el conjunto de spinors en $3$-espacio se comportan exactamente como los cuaterniones.

Referencias

Para obtener información detallada sobre las matemáticas detrás de spinors/ rotores, la página de Wikipedia sobre Álgebra Geométrica es bastante completo. Sin embargo, los más integral de referencias incluyen

• Lineal y Geométrico de Álgebra por Alan Macdonald
• Álgebra de Clifford Geométricos de Cálculo por David Hestenes Y Garret Sobczyk
• El Álgebra geométrica de los Físicos por Chris Doran & Anthony Lasenby

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^{$\dagger:$ Si $a^2+b^2 = 1$, esto es, si el spinor es normalizado , entonces la acción de la misma en un vector es simplemente girar en lugar de rotar y escalar y en este caso especial son los llamados rotores.}

Answer 4

Esta multiplicación especial trabaja para los números complejos, es decir, es suficiente sólo para $\mathbb{R}^2 \equiv \mathbb{C}$, pero es no-trivial generalizar para hacer útil para principiantes :)

El producto de punto es generalizable y el producto cruzado, aunque se define en $\mathbb{R}^3$, pero tiene un montón de aplicaciones útiles en la física y por lo tanto está cubierto en las clases de matemáticas para principiantes...

Answer 5

El método que usted describe no está relacionado con cualquier vector de la interpretación de los números complejos.

Se trata del hecho de que el complejo de número de $z = a + bi$ puede ser escrito en la llamada polar de la forma $re^{i\theta}$ donde $r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}$ es el módulo de $z$ $\theta$ es el "argumento" de $z$, que es básicamente el ángulo que forma el punto de $(a,b)$ hace con el positivo de la $x$-eje (por ejemplo, el punto de $(1,1)$, correspondiente a $z = 1+i,$ $\theta = \pi/4$).

Si tiene dos números complejos en forma polar, decir $z = r_1e^{i\theta_1}$$w = r_2e^{i\theta_2}$, $$zw = r_1e^{i\theta_1} \cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1 \cdot r_2 \cdot e^{i\theta_1 + i\theta_2} = r_1r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$

Este es un número complejo cuya magnitud (módulo) es $r_1r_2$ y cuyo argumento es $\theta_1 + \theta_2$.

Así, mientras que la polar formulario puede ser visto como una descripción de un vector (magnitud y dirección), este vector de la interpretación no es donde el $r_1r_2$ $\theta_1 + \theta_2$ provienen. $r_1r_2$ proviene de la multiplicación como de costumbre y $\theta_1 + \theta_2$ proviene de la multiplicación de expresiones exponenciales con la misma base.