¿Cómo debería ser evitar este error? (Para evitar que la falta de soluciones)

Question

Primero de todo, lo siento si es una pregunta muy simple o estúpido.

Considere la ecuación:

$$ \log((x+2)^2) = 2 \log(5) $$

Si puedo aplicar el logaritmo de la ley de $ \log_a(b^c) = c \log_a(b) $

$$ \begin{align} 2 \log(x+2) & = 2 \log(5) \\ \log(x+2) &= \log(5) \\ x+2 &= 5 \\ x &= 3 \end{align} $$

Pero puedo ver que me estoy perdiendo una solución, $x = -7$. Me di cuenta de que

$$ \begin{align} \log((x+2)^2) &= 2 \log(5) \\ \Updownarrow \\ 2 \log(x+2) &= 2 \log(5) \end{align} $$

NO es cierto. El dominio de la primera ecuación es$x \in \mathbb{R}$, pero la segunda ecuación del es $x \geq -2$.

Sé que la solución correcta.

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Así que yo entiendo que este no es un equivalente de la transformación de la ecuación. Lo que no sé es cómo debo evitar esto. Hay algo a tener en cuenta, que me ayudara a evadir este error? Naturalmente, yo no he notado la falta de solución, a menos que me registré el dominio de la segunda ecuación, que yo no realmente he tenido una razón para...

Answer 1

La fórmula $$\log_a b^c = c \log_a b$$ is true only if $b # > 0$ (if we assume that $\log_a$ is a real-valued function). Therefore, an alternative method of solution can proceed as follows: $$\log (x+2)^2 = 2 \log 5 = \log 5^2 = \log 25,$$ and because now all the arguments to $\log$ on both sides must be positive, we have $$(x+2)^2 = 25$$ or $$(x+2-5)(x+2+5) = (x-3)(x+7) = 0,$$ y ambas soluciones se encuentran.

Answer 2

Regla general tratándose de plazas (hasta poder) si no tiene un valor absoluto más probable es que te estás perdiendo lo.

Aquí, como está escrito en comentarios $\ln(x^2)=2\ln(|x|)$ porque como bien dice sus dominios deben ser la misma. Esto es porque sólo si de $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ $a,b>0$.

Otro ejemplo es que $\sqrt{x^2}=|x|$.

Answer 3

Agradecemos la comprensión de por qué la otra solución existe y por qué se lo perdió.

Cómo evitar esta:

Siempre que vea un número real al cuadrado, o elevado a cualquier potencia, (asegúrese de que no es un número complejo que se trata!), realizar la siguiente sustitución:

$$x^2 \iff |x|^2$$

Tenga en cuenta que ambas expresiones son siempre iguales (en los números reales), por lo que es 100% correcto para hacer esta sustitución en cualquier momento.

Sólo entonces, realizar sus reglas.

En otras palabras, nunca "tomar la plaza" a menos que esta rodeado de los valores absolutos de la función.

En tu ejemplo, $(x+2)^2$ primera convertido $|x+2|^2$, y sólo entonces se debe proceder como lo hizo, y de esta manera usted no pierda ninguna de las soluciones.