Dada la Fibonacci , tribonacci y tetranacci números,
$$F_n = 0,1,1,2,3,5,8\dots$$
$$T_n = 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24,\dots$$
$$U_n = 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, \dots$$
y así sucesivamente, cómo lo demostramos,
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{F_n}{10^n} = \frac{10}{89}$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{T_n}{10^n} = \frac{100}{889}$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{U_n}{10^n} = \frac{1000}{8889}$$
o, en general,
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{S_n}{p^n} = \frac{(1-p)p^{k-1}}{(2-p)p^k-1}$$
donde los anteriores eran sólo los casos $k=2,3,4$ y $p=10$ ?
P.D. Relacionado Correo electrónico: .
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¿Ha intentado encontrar fórmulas explícitas para $S_n$ ¿como la de Binet?
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@MichaelGaluza: Sí, de hecho. Si miras la fórmula general (eq.5) en mathworld.wolfram.com/Fibonaccin-StepNumber.html se lo di a Eric en 2005. Pero lo encontré empíricamente.
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Puede que esté pasando algo por alto, pero creo que algo similar a La solución de Thomas Andrew a tu otra pregunta (funciones generadoras) debería darte el valor, mientras que la convergencia podría demostrarse mostrando $S_n/p^n < 1$ para un tamaño suficientemente grande $p$ . (En realidad no he seguido este camino de razonamiento, pero "se siente bien". Si lo sigo, dejaré un comentario o una respuesta explicando cómo resultó).
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Por $S_n$ ¿quieres decir $S_i = F_i$ para $i < n$ y $S_i = S_{i-1} + \ldots + S_{i -n}$ ?
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@MarcusM Creo que la definición estándar es $S_i = 0$ para $i \leq 0$ , $S_1=1$ y $S_i = S_{i-1} + \cdots + S_{i-k}$ .
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@MarcusM: Acabo de usar $S_n$ (para la secuencia) como nombre genérico. Para $k=2$ entonces $S_n = F_n$ . Para $k = 3$ , $S_n = T_n$ y así sucesivamente.
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@apnorton: Siéntete libre de responder a esta pregunta utilizando las ideas del otro post. :)