integrar el cuadrado de $\arctan x$. Complicado

Question

$$\int \left(\frac{\tan^{-1}x}{x-\tan^{-1}x}\right)^{2}dx$$

Funcioné a través de una integral que estoy teniendo un tiempo de problemas. La solución sólo funciona para $\displaystyle\frac{1+x\tan^{-1}x}{\tan^{-1}x-x}$, pero para la vida de mí no puedo encontrar un método apropiado para abordarlo.

¿Alguien tiene cualquier insinuación sobre una buena estrategia, sustitución, partes, etc.?. Muchas gracias.

Answer 1

El denominador sugiere que tal vez una integración por partes ayudará a donde $v=\frac{1}{x-\arctan x}$. Esto puede hacer que para un extraño $dv$ que no es evidente a partir de la integral dada.

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x-\arctan x}\right)=\frac{-\frac{x^2}{1+x^2}}{(x-\arctan x)^2}$$

Así que vamos a intentar $dv=\frac{-\frac{x^2}{1+x^2}}{(x-\arctan x)^2}$$u =-\arctan^2x\frac{1+x^2}{x^2}$. Tenga en cuenta que $u = -\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\arctan^2 x$.

Computación $du$,\begin{align} du &=\left[-\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\frac{2\arctan x}{1+x^2}+\frac{2\ \arctan^2x}{x^3}\right]dx\\ &=\frac{2\arctan x}{x^3}\left(\arctan x-x\right)\ dx\end {align}

Aplicar la integración por partes fórmula $\int u\,dv=uv-\int v\,du$, la intergal es igual a $$-\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\arctan^2 x\frac{1}{x-\arctan x}+\int\frac{2\arctan x}{x^3}\,dx$$

La nueva integral puede ser manejado con otra integración por partes donde$u$$\arctan x$$dv$$2x^{-3}$. Que te dejará con una función racional en $x$, que se puede integrar el uso parcial de la fracción de descomposición. Una vez que todos los de la integración es completa, los términos deben sumar a dar lo que usted sabe la antiderivada a ser (tal vez con una diferencia constante). Estos pasos son "feos" detalles, pero sigue la descripción de arriba. Tenemos \begin{align}&-\frac{\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\arctan^2 x}{x-\arctan x}-\frac{\arctan x}{x^2}+\int\frac{1}{x^2(1+x^2)}\ dx\\ =&-\frac{\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\arctan^2 x}{x-\arctan x}-\frac{\arctan x}{x^2}+\int\frac{1}{x^2}\ dx-\int\frac{1}{x^2+1}\ dx\\ =&-\frac{\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\arctan^2 x}{x-\arctan x}-\frac{\arctan x}{x^2}-\frac{1}{x}-\arctan x+C\\ =&\frac{1+x\arctan x}{x^2(x-\arctan x)}-\frac{\arctan x(x-\arctan x)}{x^2(x-\arctan x)}\\&-\frac{x(x-\arctan x)}{x^2(x-\arctan x)}-\frac{x^2(x-\arctan x)\arctan x}{x^2(x-\arctan x)}+C\\ \\ =&-\frac{\left(1+x^2\right)\arctan^2 x}{x^2(x-\arctan x)}-\frac{\arctan x(x-\arctan x)}{x^2(x-\arctan x)}\\&-\frac{x(x-\arctan x)}{x^2(x-\arctan x)}-\frac{x^2(x-\arctan x)\arctan x}{x^2(x-\arctan x)}+C\\ \\ =&\frac{-x^2-x^3\arctan x}{x^2(x-\arctan x)}+C\\ =&-\frac{1+x\arctan x}{(x-\arctan x)}+C\\ \end{align}

Answer 2

$x = \tan(u)$, $\mathrm{d}x = \frac{1}{\cos^2(u)}\mathrm{d} u$, Por lo tanto $$ \int \left(\frac{\tan^{-1}x}{x-\tan^{-1}x}\right) ^ {2} \mathrm{d}x = \int \left (\frac{u}{\tan(u) - u} \cdot \frac{1}{\cos(u)} \right)^2 \mathrm{d} u = \int \left (\frac{u}{\sin(u) - u \cdot \cos(u)} \right)^2 \mathrm{d} u $$ Ahora, observar $$ \mathrm{d} \left (\frac{1}{\sin (u)-u \cos(u)} \right) = \frac{-u \sin(u) \mathrm{d} u} {(\sin (u)-u \cos(u)) ^ 2} $$ Esto permite integrar por partes: $$ \begin{eqnarray} I &=& \int \left( \frac{u}{\sin(u) - u \cdot \cos(u)} \right)^2 \mathrm{d} u = \int \left( -\frac{u}{\sin(u)} \right) \mathrm{d}\left( \frac{1}{\sin(u)-u \cos(u)} \right) \\ &=& -\frac{u}{\sin(u)\left(\sin(u)-u \cos(u) \right)} + \int \frac{1}{\sin(u)-u \cos(u)} \mathrm{d} \left( \frac{u}{\sin(u)} \right) \\ &=& -\frac{u}{\sin(u)\left(\sin(u)-u \cos(u) \right)} + \int \frac{\mathrm{d}u}{\sin^2(u)} \\ &=& -\frac{u}{\sin(u)\left(\sin(u)-u \cos(u) \right)} - \frac{1}{\tan(u)} + C \\ &=& -\frac{\arctan(x)}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} -\arctan(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)} - \frac{1}{x} + C \\ &=& -\frac{1}{x} \left( 1+ \frac{(1+x^2) \arctan(x) }{x - \arctan(x)}\right) + C = -\frac{ 1 + x \arctan(x) }{x - \arctan(x)} + C \end{eqnarray} $$