Número de componentes conectados por el camino del conjunto de todas las raíces de $m$-th de la matriz identidad

Question

Que $m$ ser un número natural fijo

Que $X$ ser el subconjunto de $M_n( \Bbb C)$ definido por: $X=\{A:A^m=I_n\}$

contar el número de componentes de arco conectado de $X$

Salvo to en cuenta que los valores propios de las matrices de $X$ son las raíces de $n$-th de la unidad, no avanzo en la enumeración

Answer 1

Buena pregunta! Deje $\mathcal{P}$ el conjunto de ruta de componentes conectados de $X$ y dejar

$$A = \left \{ (k_0, \dots, k_{m-1}) \, \big| \, \sum_{i=0}^{m-1} k_i = n, k_i \geq 0, k_i \in \mathbb{Z} \right \}. $$

Vamos a definir un bijection $\varphi \colon A \rightarrow \mathcal{P}$ y esto mostraría que la $|\mathcal{P}| = |A| = { m + n - 1 \choose n }$.

Revisión de una primitiva $m$-ésima raíz de la unidad $\omega$. Dado $k = (k_0,\dots,k_{m-1})$$A$, corregir algunos arbitraria de la matriz $A \en X$ whose characteristic polynomial is $p_A(z) = \prod_{i=0}^{m-1} (z - \omega^i)^{k_i}$ and let $\varphi(k)$ be the path-component of $$ in $X$. Concretely, $$ puede ser llevado a ser una matriz diagonal.

1. Vamos a mostrar que $\varphi(k)$ está bien definido en el sentido de que nuestra definición de $\varphi(k)$ no depende de la matriz específica, $A \in X$ que $p_A(z) = \prod_{i=0}^{m-1} (z - \omega^i)^{k_i}$. Tenga en cuenta que cualquier $A \in X$ es diagonalizable (el mínimo polinomio se divide $x^m - 1$, por lo que tiene distintas raíces) lo que implica que cualquiera de las dos matrices en $X$ que tienen el mismo polinomio característico debe ser similar. Ahora, $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ es la ruta de acceso conectado y el mapa de $P \mapsto P^{-1} A P \in X$ es continua y por lo que cualquiera de los dos matrices $A,B \in X$ que tienen el mismo polinomio característico puede ser conectado por un camino de $X$.
2. El anterior argumento también muestra que $\varphi$ es sobre. Dado $A \in X$$p_A(z) = \prod_{i=0}^{m-1} (z - \omega^i)^{k_i}$, el componente de la ruta de $A$$X$$\varphi(k)$.
3. Por último, vamos a mostrar que $\varphi$ es uno-a-uno. Tenemos que mostrar que si $A,B \in X$ puede ser conectado por un camino de $\alpha \colon [0,1] \rightarrow X$$\alpha(0) = A$$\alpha(1) = B$$p_A(z) = p_B(z)$. Dado $0 \leq i \leq m - 1$, arreglar un contorno $C_i$ $\mathbb{C}$ que no pase a través de cualquiera de las $(\omega^j)_{j=0}^{m-1}$, tiene cuerda número uno en torno a $\omega^i$, y liquidación número cero alrededor de $\omega^j$$j \neq i$. Considere la función $$ t \mapsto \frac{1}{2\pi i} \oint_{C_i} \frac{p_{\alpha(t)}'(z)}{p_{\alpha(t)}(z)} \, dz \in \mathbb{Z}. $$ Dado que las raíces de $p_{\alpha(t)}(z)$ debe $m$-th raíces de la unidad, vemos que el argumento de principio que esta expresión nos da la multiplicidad de la raíz $\omega^i$$p_{\alpha(t)}$. El integrando es una función continua de $t$, por lo que la función. Por conexión, vemos que tiene que ser constante y así la multiplicidad de $\omega^i$ $p_{\alpha(0)}(z) = p_A(z)$ es idéntica a la multiplicidad de $\omega^i$ $p_{\alpha(1)}(z) = p_B(z)$ todos los $0 \leq i \leq m - 1$. Por lo tanto, $p_A(z) = p_B(z)$.

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Si usted quiere evitar el argumento de principio, usted también puede mostrar el paso a $(3)$ mucho más directamente por escrito

$$ p_{\alpha(t)}(z) = z^n + c_{n-1}(t)z^{n-1} + \dots + c_1(t)z + c_0(t) $$

donde $c_i(t)$ es el coeficiente de $z^i$$p_{\alpha(t)}(z)$. Uno puede fácilmente ver que $c_i(t)$ son continuas. Desde $\alpha(t) \in X$ todos los $t \in [0,1]$ y matrices en $X$ tiene un número finito de posibles polinomios característicos, esto implica que el mapa

$$ t \mapsto (c_{n-1}(t), \dots, c_1(t), c_0(t)) \in \mathbb{C}^n $$

es continua y tiene imagen finita. Por lo tanto, debe ser constante y $p_{\alpha(0)}(z) = p_{\alpha(1)}(z)$.

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Por último, permítanme describir la respuesta anterior en un lenguaje ligeramente diferente. Considerar el mapa de $\pi \colon X \rightarrow \mathbb{C}_{\leq n}[z]$ $\pi(A) = p_A$ y topologize $\mathbb{C}_{\leq n}[z]$$\mathbb{C}^{n+1}$. El mapa de $\pi$ es continua y tiene imagen finita. El grupo $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ actúa transitivamente sobre cada fibra y cada fibra está conectado. Por lo tanto, los componentes conectados de $X$ están en bijection con $\pi(X)$$|\pi(X)| = |A|$.