Manera teórica para no demostrar ningún entero positivo $n$ existe tal que $n+3$ y $n^2+3n+3$ son dos cubos perfectos.

Question

Tengo que demostrar que para cualquier entero positivo $n$ al menos uno de $n+3$ $n^2+3n+3$ no es un cubo perfecto. Hay una forma metódica para resolver este problema?

Me las arreglé para resolver la contradicción, tratando de forzar a algún tipo algebraico de la identidad.

La solución que he encontrado es la siguiente:

Si $n+3$ $(n^2+3n+3)$ son ambos cubos, a continuación, el producto es un cubo. El producto es $n^3+6n^2+12n+9=(n+2)^3+1$. No hay dos positivos cubos con una distancia entre ellos, esta es la contradicción.

Por alguna razón, esto parece algo artificial, me hace pensar que si uno quisiera hacer un problema muy difícil como este, entonces él podría buscar mucho más complicado identidades, y después encontrar la contradicción sería mucho más difícil. Hay un "más seguro" para hacer frente a estos problemas, sin tener que depender de la "suerte". (Por supuesto que no es 100% de suerte porque la práctica hace mucho más rápido en encontrar la forma de armar la expresión)

Answer 1

$n+3=x^3$, $n=x^3-3$.

$n^2+3n+3=(x^3-3)^2+3(x^3-3)+3=x^6-3x^3+3=(x^2-(1/x))^3+x^{-3}>(x^2-1)^3$, pero también $x^6-3x^3+3<(x^2)^3$, por lo que no es un cubo.