Solución a la curva integral para funciones de soportadas compacto

Question

Que $U\subseteq\mathbb{R}^n$ ser un subconjunto abierto, y que $g:U\rightarrow\mathbb{R^n}$ ser una función de $C^1$. Sea $x_1(t),\ldots,x_n(t)$ $C^1$ funciones en un intervalo abierto $I\subseteq\mathbb{R}$. Escriba $x(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))$. Considerar la ecuación de $$\dfrac{dx}{dt}(t)=g(x(t))$$ Call that equation $ (*) $. Suppose that there exists a compact set $W $ such that $g (=0$ for all $x\not\in W$, and let $x_0\in U $. Prove that there exists a solution $x (t) $ to $(*) $ for $t\in(-\infty,\infty) $ such that $x (0) x) = x_0$.

Fijar $x_0\in U$. Si $g(x_0)=0$, sólo podríamos tener el % de solución constante $x(t)=x_0$que claramente satisface $(*)$.

Así podemos considerar el caso $g(x)\neq 0$. No sé qué hacer en este caso.

Answer 1

Esto es una consecuencia de un estándar teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. He aquí una afirmación, tomada a partir de aquí, en la página 4:

Deje $U\subset\Bbb{R}^n$ ser un conjunto abierto, y deje $g:U\to\Bbb{R}^n$ ser de Lipschitz con constante $K$. Deje $x_0\in U$, y supongamos que hay un cerrado balón $B_b(x_0)$ radio $b$ $U$ y centrada en$x_0$, $\|g(x)\|\leq M$ todos los $x\in B_b(x_0)$. Deje $\alpha=\alpha(x_0)=b/M$, entonces no es un $C^1$ curva $x(t)$, $t\in[t_0-\alpha,t_0+\alpha]$ tal que $x'(t) = g(x(t))$$x(t_0)=x_0$.

En tu caso, es fácil mostrar que la hipótesis mantener para cada $x_0$, y se puede mostrar fácilmente que debido a $\alpha(x_0)$ es siempre mayor de lo que algunos positivos $\epsilon>0$, se puede extender toda la trayectoria de $x(t)$ todos los $t\in\Bbb{R}$.

Answer 2

No puedo pedir esto en un comentario, así que me voy a poner aquí. Dicen que estamos en R$^1$. Tenemos una ecuación diferencial dx(t)/dt = g(x(t)), donde x(t) no es un vector, pero sólo una función. Sabemos que g es integrable en a $\pm \infty$ porque

• g tiene soporte compacto, así que estamos realmente la integración de más de W, un conjunto compacto.
• g es C$^1$, por lo que g(t) es integrable en W
• x(t) es C$^1$, por lo que g(x(t)) es integrable en W

De modo que x(t) = $\int g(x(t))dt$ + K existe (donde K es simplemente una constante). La integral no puede hacer nada a menos diferenciable, por lo que x(t) es ciertamente C$^1$. La K se puede ajustar de modo que x(0) es lo que usted desea.

Me pregunto cómo el intervalo I se conecta.

Tengo esta del todo mal (no tan inusual) o es este el tipo de enfoque que se necesita? Y si lo es, no puede algo como ser extendido a R$^n$?