El $\lim_{n \to+\infty} \frac{1}{n}\int_0^1 \log(1+e^{nf(x)})\,dx$ (Rudin ' ejercicio s)

Question

Problema (Rudin, R&CA el capítulo 2, no. 25)

(i) Hallar la menor constante positiva $c$ tal que $$\log(1+e^t) \le c+t , \qquad t \en (0,+\infty).$$

(ii) ¿ $$\lim_{n \to+\infty} \frac{1}{n}\int_0^1 \log(1+e^{nf(x)})\,dx$$ existen para cada $f \in L^1$? Si existe, ¿qué es?

La parte (i) puede ser resuelto de un modo elemental, por ejemplo, darse cuenta de que la función de $t \mapsto \log(1+e^t)-t$ es la disminución en el $(0,+\infty)$ ahí su máximo se alcanza en $0$ y es, precisamente,$\log 2$.

La segunda pregunta es más interesante: he puesto $X^+:=\{f \ge 0\}$$X^-=[0,1] \setminus X^+$, por lo tanto $$\frac{1}{n}\int_0^1 \log(1+e^{nf(x)})\,dx = \frac{1}{n}\int_{X^+} \log(1+e^{nf(x)})\,dx + \frac{1}{n}\int_{X^-} \log(1+e^{nf(x)})\,dx =: I_1 + I_2$$

El primer término $I_1$ puede ser tratada usando la desigualdad de arriba $$I_1 \le \frac{1}{n}\left(\log 2\mathscr |X^+| + n \int_{X^+}f(x)dx\right) \a \int_{X^+}f(x)dx$$ como $n \to +\infty$. Por otro lado, $I_2$ puede ser calculada usando el teorema de convergencia dominada, ya que en $X^-$ tenemos $f<0$ por lo tanto $$\frac{1}{n}\log(1+e^{nf(x)}) \le 1 \log{1+1} = \log 2, \qquad \forall n.$$ En particular, se ha $\frac{1}{n}\log(1+e^{nf(x)}) \to 0$ por cada $x \in X^-$, por lo que podemos deducir $I_2 \to 0$.

En conclusión, el límite siempre existe y es igual a $\int_{X^+} f$, o lo que es lo mismo, $\int_0^1 f^+$.

Es esto correcto? Gracias de antemano.

Answer 1

Es bien escrito y globalmente correcta. El único punto menor es que demostraste que $\limsup_nI_1\leqslant \int_{X^+}f(x)\mathrm dx$ y realmente queremos mostrar que la RHS es el límite. Usted puede utilizar el teorema de convergencia dominada gracias a la desigualdad obtenida en (i).