Evaluar la integral convirtiendo a coordenadas polares

Question

$$ \int^{\pi/2}_{\pi/4} \int^{\sqrt{2-y^2}}_y 3(x-y) dx dy$$

Intenté lo siguiente:

$$ \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_{0}^{1} 3r^2 (\cos\theta - \sin\theta) dr d\theta $$ lo cual está mal aparentemente. Creo que me he equivocado en el dibujo de la curva.

Answer 1

Sé que esto llega tarde, pero me gustaría responder de todos modos, para aquellos que se encuentren con esto.

En primer lugar, tu integral inicial parece un poco equivocada. Parece que has utilizado los ángulos como límites de integración para la integral exterior.

Lo que yo asume el problema quiere (si se quiere $y$ entre esos puntos) es algo así:

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$ \displaystyle \iint_R 3(x-y)\,\mathrm{d}A,$ donde $R$ es la región del primer cuadrante delimitada (encerrada) por el semicírculo $x = \sqrt{2 - y^2}$ y las líneas $x = y$ y $x = 0$ (el eje Y).

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Siempre empezar este tipo de problemas por dibujar un cuadro . Si no estás dibujando el gráfico, no estás siendo lo suficientemente cuidadoso.

Así que tomemos las curvas que nos da y grafiquémoslas. En primer lugar, puede ser más fácil reescribir $x = \sqrt{2 - y^2}$ como $x^2 + y^2 = 2$ que es mucho más fácil de ver cuando tratamos de graficar - (es sólo un círculo centrado en el origen con radio $\sqrt2$ ).

Perdón por el dibujo primitivo - todavía no conozco Mathematica lo suficientemente bien como para obtener un buen gráfico.

Así que la zona sombreada es lo que se busca. Para describir esta región en coordenadas polares, necesitamos dos cosas en concreto: el rango del ángulo y el radio sobre el que queremos integrar.

Observando la ecuación del círculo podemos ver que el radio de la curva es $\sqrt2$ . Tampoco hay nada que delimite el extremo inferior del radio, así que utilizaremos el radio completo del círculo: $0 \le r \le \sqrt2$ .

Para encontrar el ángulo, mira la parte sombreada de la gráfica. Puedes ver que $x=y$ hace un ángulo de $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ radianes con el eje x, y $x = 0$ siendo el eje y, está en un ángulo de $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ radianes.

Así que podemos describir la región sobre la que queremos integrar como:

$$R = \{(r,\theta)\,|\,\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{2}, 0 \le r \le \sqrt2\}$$

Y finalmente, reescribiendo la función en forma polar obtenemos la integral doble

$$\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_{0}^{\sqrt2} 3(r\cos\theta - r\sin\theta)r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta $$

que se puede simplificar un poco a

$$\displaystyle 3\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_{0}^{\sqrt2} r^2(\cos\theta - \sin\theta)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta $$

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Para resolverlo puedes seguir adelante y dividir el integrando:

$$3\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\cos\theta - \sin\theta)\,\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\sqrt2} r^2\,\mathrm{d}r$$

Que son dos integrales realmente triviales de resolver.