Sea $\mathbb R$ el campo de los números reales. Su clausura algebraica, el campo $\mathbb C$, es una extensión finita de $\mathbb R$, la cual tiene grado 2.
¿Existen otros ejemplos de campos (no algebraicamente cerrados) cuya clausura algebraica sea una extensión finita?
El teorema de Artin-Schreier afirma que estos son precisamente los campos reales cerrados, que en pocas palabras son los campos que se comportan como $\mathbb{R}$, y que sus clausuras algebraicas tienen grado $2$ y se obtienen añadiendo una raíz cuadrada de $-1$. El artículo de Wikipedia da varios ejemplos; el más simple probablemente es el de los números algebraicos reales $\mathbb{R} \cap \overline{\mathbb{Q}}.
@nicksohn: "Artin-Schreier" está vinculado a dos cosas diferentes que no están relacionadas. El teorema de Artin-Schreier afirma que $k$ es un campo cuyo cierre algebraico es una extensión finita no trivial de $k$ si $k$ es un campo real cerrado; en este caso, el cierre algebraico es $k[i]$ donde $i^2 = -1.
¿Puedo preguntarle la fuente? Quiero estudiar este teorema, enunciado, PRUEBA y más ejemplos... No puedo encontrar artículos relacionados... ¡Gracias!
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