¿Existe una función real valor $f$ tal que $\lim_{x\rightarrow q} f (x) = \infty$ for all $q\in\mathbb{Q}$?
Mi respuesta es no. Si $f$ existe, entonces nos permite definir $$g(x) \left\ = {\begin{array}{l l} \frac{1}{1+|f(x)|} & \quad \text{if } x\in \mathbb{Q}^c\\ 0 & \quad \text{if } x\in \mathbb{Q}\\ \end{matriz} \right. \\ $$ y vemos $g$ es continua solo en números racionales, que una contradice el hecho de que el conjunto de puntos de continuidad es un conjunto de $G_\delta$.
¿Es correcta mi solución? Y ¿ustedes saben si hay cualquier buen argumento directo?
