Límite de $\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$ $n$ acerca a infinito

Question

Por lo que intentaba evalue este límite: $$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}, n \in \mathbb{N}$ $

Esto, por supuesto, por sentido común es igual a cero (puesto que factorial crece mucho más rápido). Hay una manera de demostrar este límite sin tener que hacer frente con probar la tasa de crecimiento de la función. I; m no está seguro de cómo se haría, pero creo que tendría que ampliar la función factorial para establecer $\mathbb{R}$ para comparar, y que está todavía más allá de mis capacidades. Gracias.

Answer 1

utilizar la serie $e^x = 1 + \dfrac{x}{1!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots$ para obtener $$e^n > \dfrac{n^n}{n!} $$ which gives you $$\left(\frac{1}{n!}\right)^{1/n} < \frac{e}{n} $$ and letting $n # \to \infty$ le da el límite cero.

Answer 2

Que $k =\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ $n=2k $ o $n=2k+1$. Entonces $k \geq \frac{n-1}{2}$ y

$$n! \geq k(k+1) ... n \geq k^k\geq \left(\frac{n-1}{2} \right)^\frac{n-1}{2}$$

Por lo tanto, para $n \geq 3$

$$0 \leq \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \leq \frac{1}{\left(\frac{n-1}{2} \right)^\frac{n-1}{2n}}\leq \frac{1}{\left(\frac{n-1}{2} \right)^\frac{1}{3}}$$

Answer 3

Si nosotros probamos que $n!>\left(\frac{n}{e}\right)^n$, el límite es trivial cero.

Ahora tenga en cuenta que, por la suma parcial: $$ \log\left(n!\right)=\sum_{k=1}^{n}\log k = n\log n-\sum_{k=1}^{n-1}\log\left(1+\frac{1}{k}\right)\geq n\log n-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\geq n\left(\log n-1\right)$ y la desigualdad es probado.

Answer 4

Puede utilizar un límite inferior bien conocido de factoriales:

$$n! ~~ \geq ~~ \sqrt{2\pi}\ n^{n+1/2}e^{-n} ~~ \geq ~~ n^{n+1/2}e^{-n} ~~ \geq ~~ n^{n}e^{-n}$$

Ahora simplificar la expresión que se obtiene al sustituir la anterior en $\sqrt[n]{n!}$:

$$( n^{n}e^{-n})^\frac{1}{n} = \frac{n}{e} $$