Secuencia de número primo y modularidad

Question

He tratado de resolver esta ecuación modular que implica primer $n$ primer número. Y es:

$$2^{3+5+7+11+13+.....+p_{n-3}+p_{n-2}}\equiv p_{n-1}\ \left(\text{mod }p_{n}\right),$$

donde $p_{n}$ es el número de $n$-ésimo primo.

No pude encontrar ninguna solución para esta ecuación hasta el primer $300$ primos. ¿Hay alguna solución para $n$?

Answer 1

He encontrado soluciones en $p_{n-1}=5813, 29537,$ y $ 44839$ [$p_n = 5821, 29567, $ y $ 44843$ respectivamente]. Estamos llegando un punto bastante aleatorio en el ciclo de potencia por lo que veo todas las razones para esperar soluciones a seguir apareciendo de vez en cuando.

Answer 2

Para lo que vale, siguiente soluciones $\{n,p_n\}$ son: \{306\,311,4\,353\,467\}\\ \{859\,825,13\,174\,621\}\\ \{1\,700\,098,27\,291\,793\}\\ $$ $$ hay no más con $n\le10^7$.