Evaluación de $\int_{0}^{\infty}\frac{\arctan \sin^2x}{x}dx$

Question

Parece ser un hueso duro de roer:

$$I=\int_{0}^{\infty}\frac{\arctan \sin^2x}{x}dx$$ ¿Alguna pista?

Answer 1

No es difícil demostrar que

\begin{equation}\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x} \; dx = \infty, \quad \cdots \quad (1)\end{equation}

y también es fácil demostrar que

$$\arctan x \geq Cx \quad \text{for} \quad 0 \leq x \leq 1 \quad \cdots \quad (2)$$

para alguna constante positiva $C > 0$ . Ahora está claro que estos juntos implican

\begin{equation}\int_{0}^{\infty} \frac{\arctan \sin^2 x}{x} \; dx \geq C \int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x} \; dx = \infty\end{equation}

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De hecho, primero demostramos que $(1)$ diverge. Basta con demostrar que

$$ \int_{2012}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x} \; dx = \infty. $$

Por integración por partes, tenemos

$$ \begin{align*} \int_{2012}^{R} \frac{\sin^2 x}{x} \; dx &= \left[ \frac{1}{2} - \frac{\sin 2x}{4x}\right]_{2012}^{R} + \int_{2012}^{R} \left( \frac{1}{2x} - \frac{\sin 2x}{4x^2}\right) \; dx\\ &= \frac{1}{2}\log R + O(1), \end{align*}$$

lo que demuestra $(1)$ dejando $R\to\infty$ .

Ahora probamos $(2)$ . examinando la segunda derivada de la función arco-tangente, encontramos que es cóncava en $[0, 1]$ . Así pues, en este intervalo tenemos

$$\arctan x \geq (\arctan 1) x,$$

lo que demuestra $(2)$ con $C=\arctan 1 =\frac{\pi}{4}$ .