Esto es supuestamente demostrado por Bill Thurston en su clásico documento Grupos de mosaicos de Conway .
Aquí hay más información de O. Bodini, Th. Fernique, E. Rémila, Caracterizaciones de la accesibilidad a los volteos para los tilings de dominó del plano entero y S. Desreux, E. Rémila, Un algoritmo óptimo para generar tilings . Para seguir la explicación, abra el primer documento en la página 2 y observe la figura 2.
Dado un mosaico de dominó, hay una forma de asignar alturas a los vértices (parte derecha de la Figura 2). Elija su favorito $2\times 2$ rectángulo cubierto por dos fichas de dominó. Observa que las alturas de las cuatro esquinas son iguales, es decir $h$ y el punto del centro tiene una altura $h \pm 2$ . Además, el punto del centro es un extremo local. El movimiento (también llamado volteo del dominó) cambia el signo: véase la figura 1 en la página 5 del segundo documento.
Aplique repetidamente el siguiente algoritmo: Mientras la función tiene un mínimo local, convertirlo en un máximo local. El algoritmo aumenta las alturas de los puntos, por lo que debe converger. Además, no es difícil demostrar que existe un único máximo local: las alturas correspondientes pueden determinarse explícitamente en función de las restricciones. El mosaico correspondiente aparece en el documento de Thurston, Figuras 4.4 y 4.5 en las páginas 14 y 15 (769 y 770), respectivamente.
Dado que cualquier mosaico puede ser volteado en este mosaico de altura máxima, los volteos pueden transformar cualquier mosaico dado en cualquier otro mosaico dado.
Eric Rémila lo explica todo en su documento La estructura de la red del conjunto de dominós de un polígono . Demuestra que existe un único mosaico máximo demostrando que el máximo puntual de dos funciones de altura es también una función de altura; lo hace demostrando que cada arista procede de uno de los mosaicos.
También proporciona un algoritmo óptimo para pasar de un mosaico a otro. Este algoritmo pasa por el máximo puntual de las funciones de altura de ambos mosaicos, y cambia cada vértice en una sola dirección. Por lo tanto, el número de giros necesarios es exactamente una cuarta parte de la diferencia de altura total $(L_1$ distancia $)$ una fórmula que atribuye a un documento anterior de 1995, Espacios de tilings de dominó .
Este último trabajo, de Saldanha, Tomei, Casarin y Romualdo, puede ser el primero que demuestre este resultado. Sin embargo, normalmente el resultado se atribuye al trabajo de (Bill) Thurston.
