Evaluar

Question

Cómo puedo evaluar %#% $ #%

He intentado usar sustitución pero estoy consiguiendo atrapado. Si hay plazo de $$\int_{0}^{1} \frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 1 } \ dx$ en el numerador, entonces éste habría sido fácil, pero éste no.

Answer 1

Otra manera, si quieres sudar más en lugar de elegante sugerencia de Chandrasekhar: $$x^4+1=(x^2+\sqrt{2}\,x+1)(x^2-\sqrt{2}\,x+1)\Longrightarrow$$$$ \frac{x^2+1}{x^4+1}=1-\frac{\sqrt 2\, x} {x ^ 2 + \sqrt 2\, x + 1} + 1 + \frac {\sqrt 2\, x} {x ^ 2-\sqrt 2\,x+1}$$ so for example$$\int\frac{\sqrt 2\,x}{x^2+\sqrt 2\,x+1}dx=\frac{1}{\sqrt 2}\int\frac{2x+\sqrt 2}{x^2+\sqrt 2\,x+1}dx-\frac{1}{2\sqrt 2}\int\frac{\sqrt 2dx}{(\sqrt 2 x+1)^2+1}=$$$$=\frac{1}{\sqrt 2} \log|x^2+\sqrt 2\, x + 1 |-\frac {1} {2\sqrt 2} \arctan(\sqrt 2\ x + 1) + C$ $ y etcetera.