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Demostrar que n2+2n es compuesto

Si n>1 es un entero no de la forma 6k+3, prueba que n2+2n es compuesto.

¿Alguna idea de cómo pensar sobre este problema? He pensado sobre ello mucho y todavía no pude llegar a nada.

10voto

user30382 Puntos 48

Si n es aun así n2+2n incluso y si n\equiv\pm1\pmod{6} y n^2+2^n\equiv1+2\equiv0\pmod3.

1voto

Wout Puntos 421

Si n es par, la prueba es trivial. Que n=2m, entonces el n^2+2^n=4m^2+4^m que es divisible por 4.

Si n es impar, considere n=6k+1.

Cuando k=1, n^2+2^n=177

Cuando k=2, n^2+2^n=8361

Cuando k=3, n^2+2^n=52469

Queremos mostrar todas k>0, (6k+1)^2+2^{6k+1} \equiv 0\pmod 3. Que a_k=(6k+1)^2+2^{6k+1}. Asumir que el caso n=k es cierto. Cuando n=k+1 % a_{k+1}=(6(k+1)+1)^2+2^{6(k+1)+1}=(6k+1)^2+36+12(6k+1)+64(2^{6k+1})\equiv (6k+1)^2+2^{6k+1}=a_k

Por lo tanto, esto significa $$a_k\equiv a_{k-1} \equiv a_{k-2}\equiv...\equiv a_1\equiv 0\pmod 3 nuestro inductivo prueba es completada.

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