Demostrar que $n^2 + 2^n$ es compuesto

Question

Si $n>1$ es un entero no de la forma $6k+3$, prueba que $n^2 + 2^n$ es compuesto.

¿Alguna idea de cómo pensar sobre este problema? He pensado sobre ello mucho y todavía no pude llegar a nada.

Answer 1

Si $n$ es aun así $n^2+2^n$ incluso y si $n\equiv\pm1\pmod{6}$ y $n^2+2^n\equiv1+2\equiv0\pmod3$.

Answer 2

Si $n$ es par, la prueba es trivial. Que $n=2m$, entonces el $n^2+2^n=4m^2+4^m$ que es divisible por 4.

Si $n$ es impar, considere $n=6k+1$.

Cuando $k=1, n^2+2^n=177$

Cuando $k=2, n^2+2^n=8361$

Cuando $k=3, n^2+2^n=52469$

Queremos mostrar todas $k>0$, $(6k+1)^2+2^{6k+1} \equiv 0\pmod 3$. Que $a_k=(6k+1)^2+2^{6k+1}$. Asumir que el caso $n=k$ es cierto. Cuando $n=k+1$ % $ $$a_{k+1}=(6(k+1)+1)^2+2^{6(k+1)+1}=(6k+1)^2+36+12(6k+1)+64(2^{6k+1})\equiv (6k+1)^2+2^{6k+1}=a_k$

Por lo tanto, esto significa $$a_k\equiv a_{k-1} \equiv a_{k-2}\equiv...\equiv a_1\equiv 0\pmod 3$ $ nuestro inductivo prueba es completada.