Considerar el teorema del valor intermedio. El teorema es muy intuitivo y puede ser descrito como obvia: si vas de $A$ $B$sin tele, que han estado en todas partes entre el$A$$B$. Sin embargo, este teorema se introduce en el Cálculo. En mi caso, vi el teorema en mi primera uni-nivel de los cursos de matemáticas. Mi pregunta es: ¿por qué es considerado como un teorema que requieren una prueba formal? ¿Cuando debemos simplemente aceptar algo como un hecho obvio? (Aunque esto último es algo que en general debe evitarse en matemáticas).
Respuestas
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Hay una manera de utilizar las matemáticas, donde uno se trata a un gran número de intuitivamente obvio declaraciones como la verdad de los hechos que se pueden utilizar siempre que lo desee. Para los asuntos prácticos, como la arquitectura, la agrimensura, la contabilidad, la medición, ... esto está muy bien, y rara vez se mete en problemas.
Sin embargo, a través de los años, la gente ha empezado a prestar atención a las matemáticas por su propio bien, nos hemos dado cuenta de que algunos de estos intuitivamente obvio declaraciones son en realidad falsas! (Por ejemplo, podrían contradecir otras partes de las matemáticas que nos encontramos aún más obvio.) Estas inesperadas revelaciones causados a las personas a examinar los fundamentos de las matemáticas con más cuidado.
En la actualidad, nuestro estándar de rigurosa de las matemáticas es como sigue: se define un muy pequeño número de axiomas que captura lo que creemos que es verdad acerca de los conjuntos, la aritmética, los números reales, y así sucesivamente. A partir de estos debemos demostrar que cualquier otra información que creemos que es verdad. Los matemáticos han decidido que esta estructura mejor nos permite distinguir entre intuitivamente obvio, pero las declaraciones falsas e intuitivamente obvio y cierto declaraciones - y, a lo largo del camino, nos ha permitido descubrir algunos extremadamente intuitivo, sin embargo, todavía enunciados verdaderos. (Por no hablar de que diferentes la intuición de la gente puede no estar de acuerdo en el primer lugar!)
Un ejemplo de esto es la existencia de los números irracionales. Parece haber sido considerado como intuitivamente obvio para los antiguos Griegos que todos los números racionales. El descubrimiento de la irracionalidad de la $\sqrt2$ vino como un shock para ellos. Su irracionalidad hecho muy poca diferencia a las aplicaciones prácticas de las matemáticas: todavía se puede medir a una cuerda cuya longitud es lo más cercano a $\sqrt2$ como el cuidado de hacer. Pero lo hizo cambiar nuestra comprensión de las matemáticas por su propio bien.
Respecto del valor medio teorema específicamente, observe que se produce para funciones cuyo dominio es el de los números racionales en lugar de los números reales (por ejemplo, $x^2-2$). Por lo que su verdad debe depender de alguna de las propiedades de los números reales que los números racionales no poseen. La comprensión de estas diferencias ha contribuido a nuestra descripción de los fundamentos de las matemáticas.
Editado para añadir: me encontré con este artículo de Stephen M. a Pie que expone sobre algunas de estas ideas (la intuición en matemáticas, por ejemplo) sino que propone una justificación diferente para la prueba del teorema del valor intermedio: en lugar de ayudar a comprobar que nuestra intuición acerca de las funciones continuas es rigurosamente correcto, dice el IVT ayuda a comprobar que nuestro riguroso $\epsilon$-$\delta$ definición de continuidad captura con precisión nuestra intuición!
CodingBytes
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El ejemplo más sencillo es el siguiente:
Supongamos que vivimos en un "mundo racional", y considere la función $$f:\quad{\mathbb Q}\to{\mathbb Q},\qquad x\mapsto f(x):=x^2\ .$$ A continuación,$f(0)=0$$f(2)=4$, pero no es $\xi\in{\mathbb Q}$$f(\xi)=2$.
Así que el "hecho obvio de que" no es tan obvio. Tiene algo que ver con los números adicionales presentes en ${\mathbb R}\setminus{\mathbb Q}$. Por lo tanto, surge la pregunta, ¿cuántos "los números adicionales" ¿tenemos que rellenar para garantizar la existencia de una$\xi$$f(\xi)=2$, y al mismo tiempo la existencia de soluciones a miríadas de otras ecuaciones que podría venir para arriba con. La "integridad axioma" responde a esta pregunta de una vez por todas; pero una gran cantidad de trabajo que se ha hecho para mostrar que el nuevo sistema de ${\mathbb R}$ todavía tiene las propiedades algebraicas (codificado en el campo "axiomas") estamos tan familiarizados con.
David HAust
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El intermedio-teorema del valor puede ser tomada como un axioma para el algebraicas abstracción de $\,\Bbb R\,$ conocido como real-campo cerrado R. a Continuación son algunos de los muchos conocidos equivalente axiomatizations:
Hay un orden en R lo que es un orden de campo que, en este orden, el teorema del valor intermedio tiene para todos los polinomios sobre R.
No es un orden total en R lo que es un orden de campo que, en este orden, cada elemento positivo de R tiene una raíz cuadrada en R y cualquier polinomio de grado impar con coeficientes en R tiene al menos una raíz en R.
R no es algebraicamente cerrado, pero su clausura algebraica es una extensión finita.
R no es algebraicamente cerrado, pero su campo de extensión $\,\rm R(\sqrt{-1})$ es algebraicamente cerrado.
Drew Jolesch
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Cuando algo puede ser probada, dado lo nuestro ya aceptado como axiomas, junto con las definiciones, y ya probada en el teorema, entonces demostrar que, en primer lugar. Si usted no sabe si se puede probar, tratar de demostrarlo, y si no puedes, intenta encontrar un contraejemplo.
Un axioma podría ser postulada cuando estamos preparando la nueva manera de entrar en un territorio desconocido, que no es abordado por la corriente axiomas y teorías, y sólo con moderación. Pero solo debe ser postulado, lo que significa que uno debe estipular que el "axioma" en cuestión es asumida para ser verdad.
(Pero cuidado! Imaginar cómo vergonzoso sería de "asumir" lo que claramente parece obvio, sólo para tener a alguien que vienen junto con una contradicción que resulta de su supuesto!)
Oli
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Si nos quedamos sólo el estudio de "suave" en las curvas (lo que significa), entonces no habría razón para no molestar a demostrar el Teorema del Valor Intermedio. Sin embargo, las funciones continuas, tal como se define utilizando el formal "$\epsilon$-$\delta$" definición de continuidad, puede ser mucho más extrañas que las curvas suaves de nuestra imaginación.
Por ejemplo, existen funciones continuas que son diferenciable. Por otra parte, dichas funciones pueden ser útiles, por ejemplo, en el modelado de movimiento Browniano!
