Estoy tomando cursos de introducción en superficies de Riemann y la geometría algebraica este término. Me sorprendió escuchar que cualquier superficie compacta de Riemann es una variedad proyectiva. Al parecer existen vínculos más profundos.
¿Qué es, en términos básicos, la relación entre las superficies de Riemann y la geometría algebraica?
Para mí, excelente como los otros son, engelbrekt es más respuesta directa a su pregunta. I. e.
1) Cada proyectiva del plano de la curva es una superficie de Riemann compacta, fundamentalmente por el teorema de la función implícita.
2) por el Contrario, cada compacto de superficie de Riemann [sumerge en un plano proyectivo de la curva porque tiene [suficiente] no constante meromorphic funciones que casi se incrusta en el avión. También cada función de meromorphic es el retroceso de una función racional en el plano. De modo que toda la estructura analítica es inducida a partir de la estructura algebraica.
En las dimensiones superiores, complejo algebraica proyectiva variedades son una subcategoría especial de compacto espacios complejos, es decir, aquellos que admitir [holomorphic es suficiente] incrustaciones en el espacio proyectivo.
Más precisamente, una n-dimensional compacta compleja variedad tiene un campo de meromorphic funciones que tiene la trascendencia de grado ≤ n, y proyectiva variedades algebraicas son una subcategoría de los (Moishezon espacios) para los cuales la trascendencia de grado es n. De hecho, creo que Moishezon demostrado estos últimos son todos birational modificaciones de variedades proyectivas.
También me gustaría añadir algo sobre el impacto de superficies de Riemann en la geometría algebraica. Es decir, que era de Riemann de la introducción de la topológico y analítica de puntos de vista, mostrando que la ruta integral y diferencial de las formas podría ser provechosamente utilizado para el estudio de las curvas algebraicas proyectivas, que profundizó y revolucionó la geometría algebraica para siempre.
Esta relación es un muy hermoso.
Imagina una superficie de Riemann. Existen diferentes formas de introducir, pero desde que dio a una especie de punto de referencia, vamos a definir como una variedad proyectiva en el complejo proyectiva del plano. Ahora la gente la llama de una superficie , ya que se ve en dos dimensiones de un verdadero punto de vista. También puede dibujar una imagen de la superficie de Riemann abarca una esfera por la proyección en una coordenada.
Ahora lo que podría ser un objeto de estudio de la geometría algebraica? Por qué, sin duda debe de ser algún objeto geométrico definido por algebraica significa. Entre las diferentes formas de iniciar el aprendizaje de la geometría algebraica podemos decir que nos hemos seleccionado la definición abstracta de una curva algebraica. En resumen, esta es una geometría definida localmente por ecuaciones algebraicas en un poco de espacio para que la resultante del colector es unidimensional.
Estas curvas algebraicas pueden ser estudiados puramente abstracta. Usted puede, por ejemplo, definir algebraica de las formas en que estas, y probar varios teoremas relativos a su geometría.
Pero el hermoso hecho es que esas son las dos caras de la misma medalla. Eso es correcto:
Cada superficie de Riemann es un complejo curva algebraica y cada pequeño complejo curva algebraica puede ser embebido en un plano proyectivo y dibujado como la superficie de Riemann.
Hay un montón de joyas en esta breve declaración. Por ejemplo, como ya he dicho hay una manera de contar las formas algebraicas en términos de interior de la geometría de la curva algebraica. Esto da una cierta cantidad, que puede ser 0, 1, 2, etc. Por otro lado, si se dibuja una superficie de Riemann, te aviso que puede ser estudiado en la topología y, a continuación, tiene la invariante llamado el número de tiradores que también podría ser 0 (esfera), 1 (torus), 2, etc. Resulta que esto es exactamente lo mismo a pesar de que se define en una forma completamente diferente por una completamente diferente rama de las matemáticas.
Toda la geometría algebraica es, por así decirlo, nuestro intento de ponernos cómodos acerca de este increíble conexión entre cosas que calcular (álgebra) y cosas que dibujar (geometría).
Hay una forma canónica para incrustar una Superficie de Riemann en el espacio proyectivo.
Una Superficie de Riemann X se llama hyperlliptic si se admite un 2 a 1 holomorphic mapa f:X → P1. Dado un (compacto) Superficie de Riemann X de género g ≥3, que no es hyperelliptic se puede definir una incrustación φK:X → Pg-1 se llama canónica de la incrustación de objetos (la construcción de este mapa se pueden encontrar en Rick Miranda del libro "las Curvas Algebraicas y las Superficies de Riemann").
A partir de esta incrustación uno puede encontrar las ecuaciones de la (imagen de la) curva de X. Por ejemplo, un nonhyperelliptic curva de género 3 está dado por la fuga de un polinomio de cuarto grado en P2, un nonhyperelliptic curva de género 4 se define por la fuga de una ecuación cuadrática y cúbica polinomio en P3.
El hyperelliptic caso no es difícil de entender. Un hyperellitic curva de género g está definida por una ecuación de la forma y2 = h(x), donde h es un polinomio de grado 2 g + 1 o 2g + 2.
Estos resultados pueden encontrarse en Miranda del libro o en Griffiths-Harris "los Principios de la Geometría Algebraica"
Mumford del gran libro corto "en las Curvas y su Jacobians" es acerca de que "la asombrosa síntesis de álgebra, geometría y análisis", como Mumford expresa. El libro tiene como objetivo proporcionar a los lectores una visión general de lo que el zoológico de curvas parece. Aritmética temas no se discuten.
Ay, se me olvidó recomendar esta muy bonita y legible libro por Clemens. El capítulo "Manin y la unidad de las matemáticas" es esp. fascinante como se trata de una sorprendente conexión con la aritmética.
Por simplicidad, sólo voy a hablar de las variedades que se encuentran en el espacio proyectivo o afín espacio. En la geometría algebraica, el estudio de las variedades a través de una base de campo k. Para nuestros propósitos, "más" significa que la variedad es cortado por polinomios (afín) o polinomios homogéneos (proyectiva) cuyos coeficientes están en k.
Supongamos que k es el de los números complejos, C. a Continuación, afín a los espacios y espacios proyectivos vienen con la topología compleja, además de la topología de Zariski que normalmente se dan uno. Entonces uno puede, naturalmente, dar los puntos de una variedad de más de C una topología heredada de la topología de subespacio. Un poco de trabajo extra (con el teorema de la función inversa y otros analítica argumentos) muestra que, si la variedad es nonsingular, tiene un nonsingular complejo colector. Esto no debería ser demasiado sorprendente. Moralmente, "variedades algebraicas" se cortan de afín y proyectiva espacios de polinomios, "colectores" se cortan de otros colectores por la suave funciones y polinomios sobre C son lisas, y eso es todo lo que está pasando.
En general, el recíproco es falso: hay muchos complejos colectores de que no vienen de nonsingular algebraica de las variedades de esta manera.
Pero en la dimensión 1, ocurre un milagro, y lo contrario también es cierto: todos compacta de dimensión 1 complejos colectores son isomorfos a los puntos complejos de una nonsingular proyectivo de dimensión-1 variedad, dotado de la topología compleja en lugar de la topología de Zariski. "Las superficies de Riemann" son sólo otro nombre para el compacto de la dimensión 1 (dimensión 2 sobre R) complejo de colectores, y "curvas" son sólo otro nombre para proyectivo de dimensión 1 variedades sobre cualquier campo, por lo tanto el teorema de usted describió.
En cuanto a por qué las superficies de Riemann son algebraicas, Narasimhan del libro explícitamente construye el polinomio que se corta una superficie de Riemann, si eres curioso.
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