Supongamos que $V=\mathbb{C}^2$ y $G=SL(V)=SL_2(\mathbb{C})$. Definimos $C_n = H_{\mathbb{C},n}(V,\mathbb{C}) \cong S^n(V^*)$, el n-ésimo poder simétrico del dual de $V$, es decir, los polinomios homogéneos de grado $n$ en 2 variables $X,Y$. Entonces para $f,g$ funciones de $X,Y$ definimos el r-ésimo transvectant de $f,g$ como
$\tau_r (f,g) = \sum \limits_{j=0}^r \frac{(-1)^j}{j!(r-j)!} \frac{\partial^r f}{\partial X^{r-j}\partial Y^j} \frac{\partial^r g}{\partial X^{j}\partial Y^{r-j}} $.
Quiero mostrar que cualquier mapa de módulo $\mathbb{C}G$ $C_p \otimes C_q \to C_{p+q-2r}$ es un múltiplo de $\tau_r$. Mi hoja de trabajo tiene la "pista" "utilice Clebsch-Gordan"; creo que esto se refiere a la fórmula
$D_{p,o}(V) \otimes D_{q,0}(V) = \bigoplus \limits_{r=0}^{min(p,q)}D_{p+q-r,r}(V)$,
donde $D_{\lambda_1,\ldots,\lambda_m}(V) = h_{\lambda_1,\ldots,\lambda_m}V^{\otimes n}$ para $\lambda_1\geq\lambda_2\geq...\geq 0$ una partición de $n$ y $h_{\lambda}$ el simetrizador de Young para esta partición (donde $m=dim(V)$, entonces en nuestro ejemplo particular $m=2$). Si $\lambda_m < 0$ definimos $D_{\lambda_1,\ldots,\lambda_m}(V) = D_{\lambda_1-\lambda_m,\ldots,\lambda_{m-1}-\lambda_m,0}(V) \otimes det^{\lambda_m}$, con $det$ el módulo determinante $\cong \Lambda^mV$. Finalmente, notemos que $D_{p,0}(V) = S^p(V) = C_p^*$.
Disculpa por tanta información, no estoy seguro de cuánto de esto es estándar y notación estándar. Así que, básicamente toda la información que tengo es esa, y todo lo que puedo ver que hacer es lo siguiente:
$C_p \otimes C_q \cong (D_{p,o}(V) \otimes D_{q,0}(V))^* \cong \left(\bigoplus \limits_{r=0}^{min(p,q)}D_{p+q-r,r}(V)\right)^* \cong \bigoplus \limits_{r=0}^{min(p,q)}D_{p+q-r,r}(V)^* \cong \bigoplus \limits_{r=0}^{min(p,q)}(D_{p+q-2r,0}(V) \otimes det^{r})^* = \bigoplus \limits_{r=0}^{min(p,q)}C_{p+q-2r}\otimes (det^r)^*$. Así que cualquier mapa a $C_{p+q-2r}$, si lo hice bien, es un mapa $\bigoplus \limits_{r=0}^{min(p,q)}C_{p+q-2r}\otimes det^{-r} \to C_{p+q-2r}$.
Incluso si hice lo correcto, no me queda claro cómo deducir que dicho mapa debe ser un múltiplo de $\tau_r; ¿es esto algún tipo de aplicación del lema de Schur? Agradecería tus pensamientos. Si algo no está claro en mi pregunta (como dije, olvido qué es estándar y qué no lo es), entonces por favor avísame y lo aclararé.
