No sé si están disponibles los siguientes datos en el formulario publicado en algún sitio, he aprendido de Jens Franke. He escrito notas en alemán, y Martin está en inglés, creo?
Supongamos $f: X\to Z$ $g: Y\to Z$ son morfismos de localmente anillado espacios. El producto de fibra de $X\times_Z Y$ $f$ $g$ en la categoría de $\textbf{LRS}$ puede ser descrito de la siguiente manera:
Conjunto subyacente: El conjunto subyacente de $X\times_Z Y$ está dado por
$$X\times_Z Y := \{(x,y,{\mathfrak p})\ |\ x\in X, y\in Y, f(x)=g(y)=:z,\\\quad\quad\quad\quad\quad\quad{\mathfrak p}\in\text{Spec}({\mathcal O}_{X,x}\otimes_{\mathcal O_{Z,z}}{\mathcal O}_{Y,y}),\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \iota_{x,y,X}^{-1}({\mathfrak p})={\mathfrak m}_{X,x}, \iota^{-1}_{x,y,Y}({\mathfrak p}) = {\mathfrak m}_{Y,y}\}$$
Aquí, $\iota_{x,y,X}: {\mathcal O}_{X,x}\to{\mathcal O}_{X,x}\otimes_{{\mathcal O}_{Z,z}}{\mathcal O}_{Y,y}$ $\iota_{x,y,Y}: {\mathcal O}_{Y,y}\to{\mathcal O}_{X,x}\otimes_{{\mathcal O}_{Z,z}}{\mathcal O}_{Y,y}$ son de la canónica de mapas.
Topología: Para $U\subset X$ $V\subset Y$ abierto y $f\in{\mathcal O}_X(U)\otimes_{{\mathcal O}_Z(Z)}{\mathcal O}_Y(V)$ poner
$${\mathcal U}(U,V,f)\ :=\ \{(x,y,{\mathfrak p})\in X\times_Z Y\ |\ x\in U, y\in V, (\text{im. of } f\text{ in } {\mathcal O}_{X,x}\otimes_{\mathcal O_{Z,z}}{\mathcal O}_{Y,y})\notin {\mathfrak p}\}.$$
De esta forma se define la base para una topología en $X\times_Z Y$.
La estructura de la gavilla: Para $(x,y,{\mathfrak p})$ denotar ${\mathcal O}_{X\times_ ZY,(x,y,{\mathfrak p})} := ({\mathcal O}_{X,x}\otimes_{{\mathcal O}_{Z,z}}{\mathcal O}_{Y,y})_{\mathfrak p}$. Para $W\subset X\times_Z Y$ poner
$${\mathcal O}_{X\times_Z Y}(W) := \{(\lambda_{x,y,{\mathfrak p}})\in\prod\limits_{(x,y,{\mathfrak p})\in W} {\mathcal O}_{X\times_Z Y,(x,y,{\mathfrak p})}\ |\ \text{for every } (x,y,{\mathfrak p})\in W\text{ there ex. } \\ \text{std. open }{\mathcal U}(U,V,f)\subset W\text{ cont. } (x,y,{\mathfrak p})\text{ and }\mu\in({\mathcal O}_X(U)\otimes_{{\mathcal O}_Z(Z)}{\mathcal O}_{Y}(V))_f\\ \text{s.t. for all }(x^{\prime},y^{\prime},{\mathfrak p}^{\prime})\in{\mathcal U}(U,V,f)\text{ we have } \lambda_{(x^{\prime},y^{\prime},{\mathfrak p}^{\prime})}=\mu_{(x^{\prime},y^{\prime},{\mathfrak p}^{\prime})}\}$$
(El tallo de ${\mathcal O}_{X\times_Z Y}$ $(x,y,{\mathfrak p})$ hecho $({\mathcal O}_{X,x}\otimes_{{\mathcal O}_{Z,z}}{\mathcal O}_{Y,y})_{\mathfrak p})$
Estructura de morfismos: Uno tiene canónica proyecciones de $X\leftarrow X\times_Z Y\to Y$, omitido detalles por ahora.
Hay muchas cosas que se pueden comprobar, pero tal vez usted querrá pensar acerca de usted mismo para familiarizarse con las definiciones?
