La prueba a continuación sólo utiliza la regla de la cadena (para cambiar de integración de las variables). Es lo que yo, como estudiante de física, iba a escribir.
Pero primero, creo que tienes un error en su publicación original. Yo creo que la 1D de la identidad debe ser:
\begin{align}
\int \Big( \sum_{\substack{\textrm{roots %#%#%}\\ \textrm{ of %#%#%}}} \frac{1}{g'(a)} \Big)^{-1} \delta(g(a)) da = 1.
\end{align}
Yo sé que usted me preguntó sobre el multidimensionales caso. Sin embargo, vamos a revisar el caso unidimensional en primer lugar. Son extremadamente similares.
Caso unidimensional
\begin{align}
\int_{\substack{\textrm{small %#%#%-region} \\ \textrm{ containing root %#%#%}}} \delta (g(a)) da = &\int_{\substack{\textrm{small %#%#%-region} \\ \textrm{ corresponding to} \\ \textrm{ root %#%#%}}} \delta(g) \frac{1}{g'(a)} dg
\end{align}
Sabíamos $a_i$ como una función de $g$ (es decir, $a$), pero también podemos pensar de $a_i$ como una función de la $g$. Esto funciona porque en la pequeña región cerca de la raíz, $a_i$ es invertible. Por lo que podemos pensar de $g$ como una función de la $a$. La función delta extrae el valor de esta función cerca de $g(a)$. Pero en la pequeña región que nos interesan, $a$$g$. Por lo tanto:
\begin{align}
\int_{\substack{\textrm{small %#%#%-region} \\ \textrm{ containing root %#%#%}}} \delta (g(a)) da = \frac{1}{g'(a_i)}
\end{align}
La integración en todo el espacio en lugar de una pequeña región le ofrece:
\begin{align}
\int \delta(g(a)) da = \sum_{\textrm{roots %#%#% of %#%#%}} \frac{1}{g'(a_i)}
\end{align}
que es un caso especial de una identidad que puede encontrar en el artículo de la Wikipedia en funciones delta de
Podemos reescribir esta a obtener:
\begin{align}
\int \Big( \sum_{\substack{\textrm{roots %#%#%}\\ \textrm{ of %#%#%}}} \frac{1}{g'(a)} \Big)^{-1} \delta(g(a)) da = 1.
\end{align}
Que es (a excepción de la inversión) de la 1D de la identidad que tenía. Usted puede traer el factor de $g(a)$a_i$\frac{1}{g'(a)}$g$g$ dentro de la suma porque es una constante.
Multidimensional caso
La única diferencia en el multidimensional caso es que, al cambiar las variables que usted necesita para utilizar el determinante Jacobiano (que Peskin y Schroeder, llame a $g=0$). Así, en lugar de $g=0$, tenemos
\begin{align}
\prod_k d a_k = \frac{1}{\det{ \frac{\partial g_i }{\partial a_j} } } \prod d g_k
\end{align}
Tenga en cuenta que $a=a_i$ realmente significa `la matriz cuyas $a$ entrada $a_i$".
De ahí el final de la identidad de antes se convierte en:
\begin{align}
\left( \prod_k \int d a_k \right) \Big( \sum_{\substack{\textrm{roots %#%#%}\\ \textrm{ of %#%#%}}} \frac{1}{\det{ \frac{\partial g_i }{\partial a_j} } } \Big)^{-1} \delta^{(n)}(\vec{g}(\vec{a})) = 1.
\end{align}
donde $a_i$ son las raíces de $g$ y cada determinante es que se evalúa en la raíz de $a_i$.
Si sólo hay una raíz
, entonces la suma tiene un solo término, y por lo que la inversión de los términos es deshecho por la inversión de la suma:
\begin{align}
\left( \prod_k \int d a_k \right) \det{ \frac{\partial g_i }{\partial a_j} } \delta^{(n)}(\vec{g}(\vec{a})) = 1.
\end{align}
[Que es la identidad en p295 de Peskin y Schroeder.] El hecho de que estas dos inversiones cancelar es agradable, pero creo que es lo que llevó a que el error en tu post original.
