¿Qué exactamente hace una función bien definida? He visto algunas pruebas pero son demasiado ondulado en mano y no podía entender qué es lo que una función bien definida.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Vamos a considerar los números racionales, que espero que usted esté familiarizado. Un número racional es generalmente representado como un par de números enteros, por escrito en el formulario $$\frac ab$$ where $b$ is not zero. But this is only a representation, and it's not unique, because many such pairs represent the same rational number. For example, $\frac12, \frac24, $ and $\frac{10}{20}$ all represent the same rational number. The general rule is that $\frac ab$ and $\frac cd$ represent the same rational number if $ad = bc$; puede comprobar esta condición con los ejemplos que acabo de dar y ver que no tiene de esos ejemplos.
Ahora digamos que queremos definir una función en los números racionales. ¿Cómo podemos hacer eso? Todos los que tenemos que trabajar es la representación $\frac ab$, por lo que tenemos que definir $f$ en términos de$a$$b$.
Considerar la definición que dice $f\left(\frac ab\right) = a+b$. Hay un serio problema con esta definición: es que no está bien definida la función de los números racionales, porque se dice a la vez que $f\left(\frac 12\right) = 3, $ que $f\left(\frac 24\right)=6$, $f\left(\frac {10}{20}\right) = 30$ Pero $\frac12, \frac24, $ $\frac{10}{20}$ son el mismo número racional, y así parece que nos han dicho que $f$ tiene valores diferentes en este número racional. Este no es un bien definida de la función debido a que no depende del que el argumento en sí mismo, sino en cómo nos ha escogido para escribir.
En contraste, si definimos $g\left(\frac ab\right) $ a ser el más pequeño entero$n$$a\le nb$, nos encontramos con que $g\left(\frac 12\right) = 1, g\left(\frac 24\right) = 1,$$g\left(\frac{10}{20}\right)=1$, y, de hecho, se puede demostrar que para cualquier $a$$b$$\frac ab=\frac 12$, siempre tenemos $g\left(\frac ab\right) = 1$. Y también se puede mostrar que el $g\left(\frac ab\right)$ sólo depende del valor racional de $\frac ab$, no el particular $a$ $b$ que son elegidos para representar. (El $g$ función es simplemente el resultado de redondear $\frac ab$ hasta el entero más cercano.) Esta es una bien definida de la función de los números racionales.
El problema aquí es que no tenemos un directo de la definición de los números racionales; en su lugar, se definen como clases de pares de enteros $a$$b$. Si queremos definir una función de un número racional, en términos de los pares de enteros que representa, nuestra definición debe dar el mismo valor para cualquier equivalente par de enteros $a$ $b$- para cualquier pareja en la misma clase de pares. De lo contrario puede ser perfectamente la función de los pares de números enteros, pero no una función de los números racionales.
El mismo problema surge cuando definimos nada en términos de clases de equivalencia. Tu pregunta está etiquetada abstracto-álgebra, así que me voy a dar el ejemplo más importante de álgebra abstracta. Si $\langle G, \ast \rangle$ es un grupo y $H$ a un subgrupo de $G$, podemos construir las clases de $gH$ de izquierda cosets de $H$. A continuación, nos gustaría definir una operación $h(aH, bH)$ en estos cosets; por lo general,$h(aH, bH) = (a\ast b)H$.
Pero tenga en cuenta que esto depende de la elección de los representantes de la $a$ $b$ de los cosets $aH$$bH$. Para que podamos tener la $aH = a'H$$bH=b'H$, incluso cuando se $a\ne a'$$b\ne b'$. En tal caso, es mejor que nos ha $(a\ast b)H = (a'\ast b')H$, o de lo contrario nuestra definición de $h(aH, bH)$ no tienen sentido, de la misma manera que $f$ no tiene sentido: nos da más de un valor posible para una elección particular de los argumentos.
Es evidente que estas definiciones en sentido exactamente al $H$ es normal subgrupo de $G$, y esta es la razón por la importancia de la normal de subgrupos.
rschwieb
Puntos
60669
Una función de $f:A\to B$ es, por (el ordinario) definición, una relación $f\subseteq A\times B$ con dos propiedades:
- Para todos los $a\in A$, existe un $b\in B$ tal que $f(a)=b$
- Para todos los $a,a'\in A$ si $a=a'$,$f(a)=f(a')$.
El segundo axioma es lo que hace una función de "bien definido". No hay ninguna prueba necesaria para demostrar que "las funciones están bien definidas," ellos están bien definidos, por definición!) PERO muy a menudo tenemos una regla que hemos inventado haciendo una relación, y que tenemos que demostrar "esta relación tiene propiedades 1 y 2, por lo que es una bien definida la función."
Cuando la definición de una función en el conjunto de clases de equivalencia $E$ a partir de una relación de equivalencia en un conjunto a $X$, es natural para definir funciones sólo en términos de los elementos de $X$ y, a continuación, pregunte si están todavía en funciones en $E$. Esto no es automática, sin embargo, y mi favorito de ejemplo que muestra por qué no es automática ya ha sido dada por MJD arriba.
Simplemente uno no puede simplemente asumir que cada relación nos ocurren en términos de $X$ hace una función en clases de equivalencia de una equivalencia en $X$.
Eros
Puntos
31
Dada una relación de equivalencia en un conjunto a $A$ y la función $f:A \rightarrow B$, diciendo que $f$ está bien definido, significa que $f^{\sim} : A/ \sim \rightarrow B$, $f^{\sim}([x])=f(x)$, definir una función.Esto sucede cuando, $ x\sim y$ implica $f(x)=f(y)$ ($f$ de paso al cociente).
Condsider esta situación: Deje $f:A \rightarrow B$ donde$A=\{1,2,3,4\}$$B=\{1,2\}$, con $f(1)=2$,$f(2)=1$,$f(3)=1$, $f(4)=1$.Ahora, considere la posibilidad de la partición de $A$, dado por: $A_{1}=\{1,2\}$, $A_{2}=\{3,4\}$. Definir una relación de equivalencia como: $x\sim y$ fib pertenecen a la misma $A_{i}$,$i=1,2$. Considerar el conjunto cociente $A/ \sim$; ahora, en esta situación, podemos decir que el $f$ no está bien definida (En el cociente), debido a que $f(1)\neq f(2)$, por lo que poner $f^{\sim}([x])=f(x)$ no define a una función. De lo contrario, si considero que la partición $A_{1}=\{1\}$, $A_{2}=\{2,3,4\}$,poner lo $f^{\sim}([x])=f(x)$ definir una función.
Espero que quede claro!
Giorgio Mossa
Puntos
7801
En matemáticas tiempo se definen las funciones, dando a las propiedades que estas funciones deben satisfacer (usted puede pensar en él como una especie de definición axiomática).
Para este tipo de definición para ser bueno no significa que la definición de estos en realidad definir una función: la definición de un objeto como la función tal que $P(f)$ sostiene en realidad no definen $f$ menos que probar que tal se $f$ existe y es único.
Ejemplos de definición de este tipo son los siguientes:
- el factor determinante es la función $\det \colon \mathcal M_n(\mathbb K) \to \mathbb K$ que es multilineal y la alternancia en las columnas y con $\det I_n = 1$;
- para cada par $a,b \in \mathbb Z$ la suma de los residuos de las clases de $[a]$ $[b]$ $\mathbb Z/n \mathbb Z$ está dado por $[a]+[b]=[a+b]$;
- ...
En todos estos ejemplo hemos definido estas funciones diciendo que las propiedades que debe satisfacer, pero si no hay ninguna función de la satisfacción de tales propiedades de estos definición no sería bueno, porque sería definir nada.
Espero que esto ayuda a aclarar.
