Observación

Question

He tratado de sustitución, reemplazando $\sec^2x$ $\tan^2x + 1$ y piezas y solo golpe muerto termina cada vez... ¿Necesita conocimiento de cálculo de alto nivel para solucionar esto?

Answer 1

$$\begin{align} &\int \sec^3x\,dx\\ =&\int \sec x \cdot \sec^2x\,dx\\ \end {Alinee el} piezas $$: $u = \sec x,\, dv = \sec^2x\,dx$ $$\begin{align} &\sec x \tan x - \int \sec x \tan^2x\,dx\\ =\,&\sec x \tan x - \int \sec x\left(\sec^2x-1\right)dx\\ =\,&\sec x \tan x - \int \sec^3x\,dx + \int\sec x\,dx \\ \end {Alinee el} % de uso $$ $\int\sec x\,dx = \ln\left|\sec x + \tan x\right| + C$, tenemos: $$\begin{align} \int \sec^3x\,dx &=\sec x \tan x - \int \sec^3x\,dx + \ln\left|\sec x + \tan x\right| + C\\ 2\int \sec^3x\,dx &=\sec x \tan x + \ln\left|\sec x + \tan x\right| + C\\ \int \sec^3x\,dx &=\frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln\left|\sec x + \tan x\right| + C\\ \end {Alinee el} $$

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¡Esto es sólo una manera de resolverlo! Se trata de un integral notoriamente complicado. También usted puede hacer esto con fracciones parciales, si los conoces. Primero hice esta solución porque se pega a los más elementales conocimientos de cálculo.

Answer 2

Dejar aviso, \sec $$\int \sec^3x dx$$$$=\int x \sec^2 x dx$ $ % $ de $$=\int \sqrt{1+\tan^2 x} \sec^2 x dx$, $\tan x=t\implies \sec^2x dx=dt$

$$=\int \sqrt{1+t^2}dt$$ $$=\frac{1}{2}\left(t\sqrt{1+t^2}+\ln\left|t+\sqrt{1+t^2}\right|\right)+C$$ $$=\frac{1}{2}\left(\tan x\sec x+\ln\left|\tan x +\sec x\right|\right)+C$$

Answer 3

Hint: $I = \displaystyle \int \sec xd(\tan x)=\sec x\tan x - \displaystyle \int \tan^2 x\sec xdx= \sec x\tan x - I + \displaystyle \int \sec xdx$

Answer 4

Observe que $\color{blue}{\sec^2x-1=\tan^2 x}$ de la identidad y la integración por partes nos da\begin{align*} \int \sec^3 x\,dx-\int\sec x\,dx&=\int\tan^2 x\sec x\,dx=\tan x\sec x-\int\sec x\,dx\\ 2\int\sec^3 x dx-\ln|\tan x + \sec x|&=\tan x\sec x+c\\ \color{blue}{\int\sec^3 x\,dx}&\color{blue}{=\frac{1}{2}\tan x\sec x+\frac{1}{2}\ln|\tan x + \sec x|+C} \end{align*} donde $C=c/2$, que $c$ y $C$ constantes.

Answer 5

$\bf{My\; Solution::}$ Let $\displaystyle I = \int \sec^3 x dx = \int \frac{1}{\cos^3 x} dx = \int\frac{1}{\sin^3\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}dx$

Ahora que $\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}-x\right) = t\;,$ % entonces $dx = -dt$

Tan Integral $\displaystyle I = -\int\frac{1}{\sin^3 t} dt =-\frac{1}{8}\int \frac{1}{\sin^3 \frac{t}{2}\cdot \cos^3 \frac{t}{2}}dt = -\frac{1}{8}\int\frac{\sec^6 \frac{t}{2}}{\tan^3 \frac{t}{2}}dt = \frac{1}{8}\int\frac{\sec^4 \frac{t}{2}\cdot \sec^2 \frac{t}{2}}{\tan^3 \frac{t}{2}}dt$

Ahora que $\displaystyle \tan \frac{t}{2} = u\;,$ % entonces $\displaystyle \sec^2 \frac{t}{2}dt = 2du$

Tan Integral $\displaystyle I = -\frac{1}{4}\int\frac{(1+u^2)^2}{u^3}du = -\frac{1}{4}\int\frac{1+u^4+2u^2}{u^3}du = -\frac{1}{4}\int \left[u^{-3}+u+2u^{-1}\right]du$