La idea es sin duda el tema principal de la primera mitad del libro, "la inducción en una buena cobertura."
Para $U$ un contráctiles conjunto abierto, el restringido bundle $E|_U$ $U$ es homeomórficos a $U \times F$, por lo que su cohomology es justo
$$H^*(E|_U) = H^*(F) = H^*(F) \otimes H^*(U),$$
desde $H^*(U)$ es trivial, y tiene una base dada por el $e_k$.
Ahora consideremos lo que sucede en una unión de $U \cup V$ de dos contráctiles abierto?
(Vamos a escribir $H^*(F) = \mathbb{R}\{e_k\}$ para un espacio vectorial, no un anillo; los mapas que participan se suelen destruir la estructura multiplicativa de $H^*(F)$.)
El de Mayer–Vietoris rendimiento de la secuencia de un triángulo
$$H^*(E|_{U \cup V}) \to H^*(E|_U) \times H^*(E|_V) \to H^*(E|_{U \cap V}) \to \cdots,$$
con un gradual espacio vectorial mapa de la secuencia
$$H^*(F) \otimes H^*({U \cup V}) \to (H^*(F) \otimes H^*(U)) \times (H^*(F) \otimes H^*(V)) \to H^*(F) \otimes H^*({U \cap V}) \to \cdots,$$
dado en la basespace factor por $\pi^*$ y en $H^*(F)$ por la restricción de las clases globales $e_k$ para el conjunto adecuado. Esto es como en la prueba de la Künneth teorema, con la diferencia de que para que el teorema de la proyección de $\rho\colon E = M \times F \to F$ induce el anillo mapa de $\rho^* \colon H^*(F) \to H^*(E)$ que necesitábamos; aquí, a pesar de $\rho$ ya no existe, la hipótesis es que el $\rho^*$ todavía existe, al menos como un mapa de espacios vectoriales.
Haciendo de este subsidio, el mapa de secuencias existe, porque sabemos que el isomorfismo para contráctiles conjuntos, los cinco lema nos da un $H^*(U \cup V)$-módulo de isomorfismo $$H^*(F) \otimes H^*({U \cup V}) \to H^*(E|_{U \cup V}).$$
La sustitución de $U$$U_1 \cup \cdots \cup U_{n-1}$$V$$U_n$, esta es la inducción de paso, al igual que en la otra prueba.
La única cosa más creo que tiene que comprobar es la conmutatividad en este caso de los análogos de la parte inferior de la plaza de la página anterior.
