¿Qué métricas inducen la topología discreta?

Question

Es bien sabido que la métrica discreta induce la topología discreta. Uno puede juguetear con esto y obtener una gran cantidad de métricas que inducen la topología discreta.

Sin embargo, dado un conjunto dotado de la topología discreta, ¿existe alguna caracterización general de las métricas que inducen la topología?

Sospecho que hay algo en la línea de la métrica que se separa de $0$ de la siguiente manera: "Para un espacio métrico $(X,d)$ existe una constante $c>0$ tal que $d(x,y)\geq c$ para todos $x,y\in X$ si y sólo si $d$ induce la topología discreta".

Una dirección (la necesidad) es trivial. Sin embargo, cuando intento demostrar la otra dirección siempre acabo necesitando algo como la compacidad en alguna parte, pero eso obliga a $X$ para tener cardinalidad finita, y por supuesto cualquier métrica sobre un conjunto de cardinalidad finita induce la topología discreta.

En cualquier caso, no estoy seguro de si lo que pongo entre comillas arriba es cierto o no, pero ¿alguien conoce una forma de caracterizar las métricas que inducen la topología discreta?

Answer 1

La afirmación correcta es que una métrica induce la topología discreta si y sólo si $d(x, -)$ está acotado fuera de $0$ en función de la segunda variable para todo $x$ . (No es necesario que sea uniformemente se alejó de $0$ en $x$ .) Pero esto es prácticamente una tautología: equivale a la afirmación de que siempre existe una bola abierta alrededor de cada punto $x$ que se compone únicamente de $x$ .

Answer 2

Esto no es cierto. Consideremos el espacio métrico $\{1/n:n\in\mathbb N\}$ con la métrica euclidiana habitual. Esto es discreto ya que para cualquier $n\in\mathbb N$ tenemos $$d\left(\frac{1}{n+1},\frac1n\right)=\frac{1}{n(n+1)}\text{ and }d\left(\frac{1}{n-1},\frac1n\right)=\frac{1}{n(n-1)}$$ y así la bola abierta de radio $\frac{1}{n(n+1)}$ es sólo $\left\{\frac1n\right\}$ . Sin embargo, claramente $d(\frac{1}{n+1},\frac1n)\to 0$ .