Álgebra de la sigma generada una expectativa condicional

Question

Dado un espacio probabilístico, una variable aleatoria $X$ y un sub sigma álgebra $\mathcal G$. ¿Qué es el álgebra de la sigma generado por la expectativa condicional $E (X\mid\mathcal G)$?

¿Es el generado por la intersección de la álgebra de la sigma de $X$ $\mathcal G$? Tal vez no.

Debe estar contenida en $\mathcal G$, ya que es mensurable wrt $E (X\mid\mathcal G)$ $\mathcal G$.

Gracias y saludos!

Answer 1

Deje $\cal H$ $\sigma$- álgebra generada por ${\Bbb E} (X\mid\mathcal G)$. Como usted dice, ya ${\Bbb E} (X\mid\mathcal G)$ $\mathcal G$medible, $\cal H$ está contenido en $\mathcal G$. No tiene que ser incluida en $\sigma(X)$. Para un simple contraejemplo, deje que la probabilidad de espacio $\Omega=\{1,2,3,4\}$ con todos los subconjuntos medibles y el uniforme de probabilidad de medir, y vamos a $${\mathcal G}=\{\emptyset,\{1,2\},\{3\},\{4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\Omega\},$$ $$X(1)=1, X(2)=X(3)=X(4)=0.$$ Entonces $$ {\Bbb E} (X\mid\mathcal G)(1)={\Bbb E} (X\mid\mathcal G)(2)=\frac12, \ \ \ \ {\Bbb E} (X\mid\mathcal G)(3)={\Bbb E} (X\mid\mathcal G)(4)=0$$ por lo ${\cal H}=\{\emptyset,\{1,2\},\{3,4\},\Omega\}$ no está contenido en $\sigma(X)=\{\emptyset,\{1\},\{2,3,4\},\Omega\}$.

Desde $\cal H$ no tiene que ser incluida en $\sigma(X)$, no es necesario que la igualdad de ${\cal G}\cap\sigma(X)$. El ejemplo anterior muestra que también no tiene que ser igual a $\cal G$.

Anexo: Como Byron Schmuland dice abajo, si $X$ ${\cal F}/{\cal B}({\Bbb R})$medible con un valor real de la función, a continuación, $\cal H$ es countably generado como es el pullback de la countably generadas $\sigma$-álgebra ${\cal B}(\Bbb R)$ bajo ${\Bbb E} (X\mid\mathcal G)^ {-1}$. También, cualquier countably generadas $\sigma$-álgebra que está contenida en $\cal G$ puede ocurrir como un valor de $\cal H$ para algunos de los verdaderos valores de $X$. (${\Bbb E} (X\mid\mathcal G)$ sólo se define a la igualdad en un conjunto de medida $1$, por lo que para ser precisos habría que decir que cualquier countably generadas $\sigma$-álgebra que está contenida en $\cal G$ puede ocurrir como un valor de $\sigma({\Bbb E}(X\mid\mathcal G))$ para algunos de los verdaderos valores de $X$ y alguna versión de ${\Bbb E}(X\mid \mathcal G)$.)