intersecciones en la categoría abeliana

Question

Dejemos que $\mathcal{A}$ sea una categoría abeliana. Fijamos un objeto $A$ y consideramos la categoría $mono(A)$ cuyos objetos son los monomorfismos $u:B\rightarrow A$ y donde un morfismo de $u:B\rightarrow A$ à $v:C\rightarrow A$ es un morfismo $ w: B\rightarrow C$ tal que $v\circ w=u$ . Podemos definir la intersección de $u$ y $v$ como producto de $u$ y $v$ es decir, es un monomorfismo $w:K\rightarrow A$ con morfismos $\pi_1:K\rightarrow B$ y $\pi_2:K\rightarrow C$ tal que para cualquier otro monomorfismo $w':K'\rightarrow A$ con morfismos $p_1:K'\rightarrow B$ y $p_2:K'\rightarrow C$ existe un único mapa $p:K'\rightarrow K$ tal que $\pi_i\circ p=p_i$ .

¿Es ésta la definición correcta de intersecciones de subobjetos en una categoría abeliana? y si lo es, ¿cuáles son las condiciones generales que debemos imponer a $\mathcal{A}$ para garantizar que cada par de subobjetos de cualquier objeto tenga intersección?

Answer 1

¿Cómo se define el subobjeto? ¿Declara un monomorfismo $B \to A$ sea un subobjeto de $A$ (como Mitchell), o definir subobjetos de $A$ para ser ciertas clases de equivalencia de mónicas con objetivo $A$ (como Mac Lane o Freyd)?

En cualquier caso, tienes la idea correcta.

Si tomamos la definición de "los subobjetos son clases de equivalencia", recordemos que la clase de subobjetos de un objeto dado tiene un orden parcial natural. Si $u: B \to A$ y $v: C \to A$ representan dos subobjetos de $A$ declaramos $u \leq v$ si $u$ factores a través de $v$ . La intersección de dos subobjetos es entonces su mayor límite inferior con respecto a este orden (¡como debe ser!).

Ahora bien, dada una categoría abeliana arbitraria, la intersección de cualquier par de subobjetos (de un objeto fijo) siempre existe. Este es el teorema 2.13 del libro de Freyd ( ftp://ftp.sam.math.ethz.ch/EMIS/journals/TAC/reprints/articles/3/tr3.pdf ), y no es una prueba difícil (es el tercer teorema que demuestra sobre las categorías abelianas).

Answer 2

Sólo por el interés general, he encontrado un libro interesante para el marco en el que se podrían definir las intersecciones:

Estructura categórica del operador de cierre con aplicación a la topología, el álgebra y la matemática discreta Dikranjan D.N., Tholen W.

Definición de intersección p. 14-15

Condiciones equivalentes para la existencia de intersecciones: Teorema p.17

Todo el primer capítulo trata de los subobjetos (+ primer § de 5.2).

Un comentario más: a veces me confundía un poco al leer (siempre me pasa), me daba la impresión de que Dikrankan volvía a definir lo mismo, pero la causa es que no me fijaba lo suficiente en a qué pertenecen las flechas. Por ejemplo, una intersección es un pullback, pero de subobjetos.

Answer 3

Para $A,B\subset C$ la intersección $A\cap B$ es el núcleo del mapa canónico $A\oplus B\rightarrow C$ . Los núcleos existen en una categoría abeliana.