El número de matrices de nilpotentes de $3\times 3$ $\mathbb{F}_q$ utilizando el teorema de estabilizador de la órbita

Question

La Fina-Herstein teorema dice que el número de nilpotent $n\times n$ matrices de más de $\mathbb{F}_q$$q^{n^2-n}$. Estoy tratando de verificar esto para el caso de $n=3$ el uso de la órbita-estabilizador teorema.

Aquí está mi método:

• Sabiendo que el polinomio mínimo es$x^m$$m\leq n$, determinar la posible racional formas canónicas:

$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$

• Deje $GL_n(\mathbb{F}_q)$ ley por la conjugación en cada una de estas matrices, entonces la suma de los tamaños de las tres órbitas es el número de nilpotent matrices.

Sabemos que $\mid GL_n(\mathbb{F}_q) \mid =(q^n-1)\cdots (q^n-q^{n-1})$, por lo que todo el trabajo se va a encontrar el tamaño del estabilizador.

Este método funcionó como un encanto para el $n=2$ de los casos, pero estoy teniendo problemas para encontrar lo que un elemento de la estabilizador parece que en cada caso para $n=3$. Es esto posible mediante la conjugación de un general de la matriz y la configuración es igual a la representante de la clase?

Answer 1

Miré hacia arriba de este teorema y una prueba de que he encontrado era tan agradable que me quería reproducir aquí.

Un estándar de hecho de álgebra lineal estados que, dado cualquier lineal mapa de $T$ de un número finito de dimensiones del espacio $V$, $V=\operatorname{im}(T^d)\oplus\ker(T^d)$ donde $d=\dim V$.

El mapa de $T$ se descompone como $\rm invertible\oplus nilpotent$ que actúa sobre esta descomposición; además cada descomposición $V=A\oplus B$ y el par $(X,Y)\in{\rm GL}(A)\times{\rm Nil}(B)$ únicamente determina cada endomorfismo de $V$. Nota: ${\rm Nil}(-)$ es el espacio de nilpotent mapas. Por lo tanto, suponiendo ahora que $V$ es finito-dim sobre un campo finito $\Bbb F_q$, el número total de endomorphisms de $V=\Bbb F_q^d$ está dado por

$$q^{d^2}=\sum_{V=A\oplus B} |{\rm GL}(A)|\cdot|{\rm Nil}(B)|.$$

Escribir $N(k)$ para el número de nilpotent matrices en $M_{k\times k}(\Bbb F_q)$. Podemos contar el número de descomposiciones $V=A\oplus B$ $\dim B=k$ el uso de la órbita-estabilizador: ${\rm GL}(\Bbb F_q^n)$ actúa transitivamente sobre dichas descomposiciones y el estabilizador de la $\Bbb F_q^{n-k}\oplus\Bbb F_q^k\,$${\rm GL}(\Bbb F_q^{n-k})\times{\rm GL}(\Bbb F_q^k)$. Así

$$\begin{array}{ll} \displaystyle q^{d^2} & \displaystyle =\sum_{k=0}^d\left(\frac{|{\rm GL}(\Bbb F_q^n)|}{|{\rm GL}(\Bbb F_q^k)\times{\rm GL}(\Bbb F_q^{n-k})|}\right)|{\rm GL}(\Bbb F_q^{n-k})|N(k) \\ & \displaystyle = \sum_{k=0}^d\frac{|{\rm GL}(\Bbb F_q^d)|}{|{\rm GL}(\Bbb F_q^k)|}N(k) \\ & \displaystyle = N(d)+\frac{|{\rm GL}(\Bbb F_q^d)|}{|{\rm GL}(\Bbb F_q^{d-1})|} \sum_{k=0}^{d-1}\frac{|{\rm GL}(\Bbb F_q^{d-1})|}{|{\rm GL}(\Bbb F_q^k)|}N(k) \\ & = \displaystyle N(d)+\frac{|{\rm GL}(\Bbb F_q^d)|}{|{\rm GL}(\Bbb F_q^{d-1})|}q^{(d-1)^2}. \end{array}$$

El recuento $|{\rm GL}_n(\Bbb F_q)|=(q^n-1)(q^n-q)\cdots(q^n-q^{n-1})$ es un clásico ejercicio: construir una matriz invertible, primero elige un vector distinto de cero, la segunda elegir un vector que no es un escalar varios de la primera, tercera elegir un vector que no es en el lapso de los dos primeros, y así sucesivamente.

Por lo tanto, podemos calcular

$$\frac{|{\rm GL}(\Bbb F_q^d)|}{|{\rm GL}(\Bbb F_q^{d-1})|}=\frac{q^d-1}{1}\frac{q^{d\phantom{-1}}-q}{q^{d-1}-1}\cdots\frac{q^{d\phantom{-1}}-q^{d-1}}{q^{d-1}-q^{d-2}}=(q^d-1)q^{d-1}. $$

Por lo tanto, la solución para $N(d)$ obtenemos

$$N(d)=q^{d^2}-(q^d-1)q^{d-1}q^{(d-1)^2}=q^{d(d-1)}. $$

Answer 2

Consejo. Tratar de encontrar la forma de las matrices inversible que conmute con cada una de las matrices que pusiste. Hay $(q^3-1)(q^3-q)(q^3-q^2)$, $q^3(q-1)^2$, respectivamente $q^2(q-1)$ tales matrices en cada caso. Ahora Obtén matrices de $$1+\dfrac{(q^3-1)(q^3-q)(q^3-q^2)}{q^3(q-1)^2}+\dfrac{(q^3-1)(q^3-q)(q^3-q^2)}{q^2(q-1)}=q^6$ $ nilpotentes.